【新高考复习】第1讲　绝对值不等式(1)

第1讲绝对值不等式1.设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)＞2；(2)求函数y＝f(x)的最小值.解(1)法一令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－12，x＝4.原不等式可化为：x＜－12，－x－5＞2或－12≤x＜4，3x－3＞2或x≥4，x＋5＞2.即x＜－12，x＜－7或－12≤x＜4，x＞53或x≥4，x＞－3，∴x＜－7或x＞53.∴原不等式的解集为xx＜－7或x＞53.法二f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝－x－5x＜－123x－3－12≤x＜4x＋5（x≥4）画出f(x)的图象，如图所示.求得y＝2与f(x)图象的交点为(－7，2)，53，2.由图象知f(x)＞2的解集为xx＜－7或x＞53.(2)由(1)的法二图象知：当x＝－12时，知：f(x)min＝－92.2.(2017·长沙一模)设α，β，γ均为实数.(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cosα|＋|sinβ|，|sin(α＋β)|≤|cosα|＋|cosβ|；(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|≥1.证明(1)|cos(α＋β)|＝|cosαcosβ－sinαsinβ|≤|cosαcosβ|＋|sinαsinβ|≤|cosα|＋|sinβ|；|sin(α＋β)|＝|sinαcosβ＋cosαsinβ|≤|sinαcosβ|＋|cosαsinβ|≤|cosα|＋|cosβ|.(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cosα|＋|sin(β＋γ)|≤|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|，而α＋β＋γ＝0，故|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|≥1.3.(2016·镇江模拟)已知a和b是任意非零实数.(1)求|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值；(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围.解(1)∵|2a＋b|＋（2a－b）|a|≥|2a＋b＋2a－b||a|＝|4a||a|＝4，∴|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值为4.(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤|2a＋b|＋|2a－b||a|恒成立，故|2＋x|＋|2－x|≤|2a＋b|＋|2a－b||a|min.由(1)可知，|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值为4.∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集.解不等式得－2≤x≤2.故实数x的取值范围为[－2，2].4.(2017·广州二测)已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－a).(1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域；(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求实数a的最大值.解(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|＞7，①当x＞2时，得x＋1＋x－2＞7，解得x＞4.②当－1≤x≤2时，得x＋1＋2－x＞7，无解.③当x＜－1时，得－x－1－x＋2＞7，解得x＜－3.∴函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞).(2)不等式f(x)≥3，即|x＋1|＋|x－2|≥a＋8，∵当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，又不等式|x＋1|＋|x－2|≥a＋8的解集是R，∴a＋8≤3，即a≤－5，∴a的最大值为－5.5.设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；(2)当x∈(M∩N)时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤14.(1)解f(x)＝3x－3，x∈[1，＋∞），1－x，x∈（－∞，1）当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1，得x≤43，故1≤x≤43；当x1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x1.所以f(x)≤1的解集为M＝{x|0≤x≤43}.(2)证明由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得16x－142≤4，解得－14≤x≤34.因此N＝x|－14≤x≤34，故M∩N＝x|0≤x≤34.当x∈(M∩N)时，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝14－x－122≤14.6.(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.(1)解不等式：|g(x)|＜5；(2)若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.解(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，所以－7＜|x－1|＜3，解不等式得－2＜x＜4，所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜4}.(2)因为对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|2x－a－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围是{a|a≥－1或a≤－5}.