【新高考复习】第2讲　不等式的证明

第2讲不等式的证明1.设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小.解(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}.(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1，0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.2.已知a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，求证：a＋b＋c＜1a＋1b＋1c.证明法一∵a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，∴a＋b＋c＝1bc＋1ca＋1ab＜1b＋1c2＋1c＋1a2＋1a＋1b2＝1a＋1b＋1c.∴a＋b＋c＜1a＋1b＋1c.法二∵1a＋1b≥21ab＝2c；1b＋1c≥21bc＝2a；1c＋1a≥21ac＝2b.∴以上三式相加，得1a＋1b＋1c≥a＋b＋c.又∵a，b，c互不相等，∴1a＋1b＋1c＞a＋b＋c.法三∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，∴1a＋1b＋1c＝bc＋ca＋ab＝bc＋ca2＋ca＋ab2＋ab＋bc2＞abc2＋a2bc＋ab2c＝a＋b＋c.∴a＋b＋c＜1a＋1b＋1c.3.(2017·衡阳二联)已知函数f(x)＝|x－3|.(1)若不等式f(x－1)＋f(x)＜a的解集为空集，求实数a的取值范围；(2)若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，判断f（ab）|a|与fba的大小，并说明理由.解(1)因为f(x－1)＋f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1，不等式f(x－1)＋f(x)＜a的解集为空集，则1≥a即可，所以实数a的取值范围是(－∞，1].(2)f（ab）|a|＞fba.证明：要证f（ab）|a|＞fba，只需证|ab－3|＞|b－3a|，即证(ab－3)2＞(b－3a)2，又(ab－3)2－(b－3a)2＝a2b2－9a2－b2＋9＝(a2－1)(b2－9).因为|a|＜1，|b|＜3，所以(ab－3)2＞(b－3a)2成立，所以原不等式成立.4.(2015·陕西卷)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}.(1)求实数a，b的值；(2)求at＋12＋bt的最大值.解(1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，则－b－a＝2，b－a＝4，解得a＝－3，b＝1.(2)－3t＋12＋t＝34－t＋t≤[（3）2＋12][（（4－t））2＋（t）2]＝24－t＋t＝4，当且仅当4－t3＝t1，即t＝1时等号成立，故(－3t＋12＋t)max＝4.5.(2015·全国Ⅱ卷)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件.证明(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2,即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＞c＋d.②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件.6.已知a，b，c均为正实数.求证：(1)(a＋b)(ab＋c2)≥4abc；(2)若a＋b＋c＝3，则a＋1＋b＋1＋c＋1≤32.证明(1)要证(a＋b)(ab＋c2)≥4abc，可证a2b＋ac2＋ab2＋bc2－4abc≥0，需证b(a2＋c2－2ac)＋a(c2＋b2－2bc)≥0，即证b(a－c)2＋a(c－b)2≥0，当且仅当a＝b＝c时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式(a＋b)(ab＋c2)≥4abc成立.(2)因为a，b，c均为正实数，由不等式的性质知a＋1·2≤a＋1＋22＝a＋32，当且仅当a＋1＝2时，取等号，b＋1·2≤b＋1＋22＝b＋32，当且仅当b＋1＝2时，取等号，c＋1·2≤c＋1＋22＝c＋32，当且仅当c＋1＝2时，取等号，以上三式相加，得2(a＋1＋b＋1＋c＋1)≤92abc＝6，所以a＋1＋b＋1＋c＋1≤32，当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号.