【新高考复习】第1讲　不等式的性质与一元二次不等式

第1讲不等式的性质与一元二次不等式一、选择题1.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是()A.f(x)＝g(x)B.f(x)＞g(x)C.f(x)＜g(x)D.随x的值变化而变化解析f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0⇒f(x)＞g(x).答案B2.已知下列四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推出1a＜1b成立的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析运用倒数性质，由a＞b，ab＞0可得1a＜1b，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.答案C3.(2017·河北省三市联考)若集合A＝{x|3＋2x－x20}，集合B＝{x|2x2}，则A∩B等于()A.(1，3)B.(－∞，－1)C.(－1，1)D.(－3，1)解析依题意，可求得A＝(－1，3)，B＝(－∞，1)，∴A∩B＝(－1，1).答案C4.若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是()A.{a|0＜a＜4}B.{a|0≤a＜4}C.{a|0＜a≤4}D.{a|0≤a≤4}解析由题意知a＝0时，满足条件.a≠0时，由a＞0，Δ＝a2－4a≤0，得0＜a≤4，所以0≤a≤4.答案D5.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是()A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定解析由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即a2＝1，解得a＝2.又因为f(x)开口向下，所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，解得b＜－1或b＞2.答案C二、填空题6.已知函数f(x)＝x2＋2x，x≥0，－x2＋2x，x＜0，则不等式f(x)＞3的解集为________.解析由题意知x≥0，x2＋2x＞3或x＜0，－x2＋2x＞3，解得x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}.答案{x|x＞1}7.(2016·重庆模拟)若关于x的不等式ax＞b的解集为－∞，15，则关于x的不等式ax2＋bx－45a＞0的解集为________.解析由已知ax＞b的解集为－∞，15，可知a＜0，且ba＝15，将不等式ax2＋bx－45a＞0两边同除以a，得x2＋bax－45＜0，即x2＋15x－45＜0，解得－1＜x＜45，故不等式ax2＋bx－45a＞0的解集为－1，45.答案－1，458.不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________.解析因为a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.答案[－8，4]三、解答题9.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)＞0；(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值.解(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－23＜a＜3＋23.所以不等式的解集为{a|3－23＜a＜3＋23}.(2)∵f(x)＞b的解集为(－1，3)，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，∴（－1）＋3＝a（6－a）3，（－1）×3＝－6－b3，解得a＝3±3，b＝－3.即a的值为3±3，b的值为－3.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.解(1)由题意得，y＝1001－x10·1001＋850x.因为售价不能低于成本价，所以1001－x10－80≥0.所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为x∈[0，2].(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得12≤x≤134.所以x的取值范围是12，2.11.下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要条件是()A.ab＋1B.ab－1C.a2b2D.a3b3解析A项：若ab＋1，则必有ab，反之，当a＝2，b＝1时，满足ab，但不能推出ab＋1，故ab＋1是ab成立的充分而不必要条件；B项：当a＝b＝1时，满足ab－1，反之，由ab－1不能推出ab；C项：当a＝－2，b＝1时，满足a2b2，但ab不成立；D项：ab是a3b3的充要条件，综上所述答案选A.答案A12.(2017·湛江调研)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若不等式f(x)0的解集为x|x12或x3，则f(ex)0(e是自然对数的底数)的解集是()A.{x|x－ln2或xln3}B.{x|ln2xln3}C.{x|xln3}D.{x|－ln2xln3}解析法一依题意可得f(x)＝ax－12(x－3)(a0)，则f(ex)＝aex－12(ex－3)(a0)，由f(ex)＝aex－12(ex－3)0，可得12ex3，解得－ln2xln3，故选D.法二由题知，f(x)0的解集为x|12x3，令12ex3，得－ln2xln3，故选D.答案D13.若不等式x2＋ax－2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围是________.解析设f(x)＝x2＋ax－2，由题知：Δ＝a2＋8＞0，所以方程x2＋ax－2＝0恒有一正一负两根，于是不等式x2＋ax－2＞0在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)＞0，即a∈－235，＋∞.答案－235，＋∞14.解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R).解原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.(1)当a＞0时，原不等式可以化为a(x－2)x－1a＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)·x－1a＜0.当0＜a＜12时，2＜1a，则原不等式的解集是x|2＜x＜1a；当a＝12时，原不等式的解集是∅；当a＞12时，1a＜2，则原不等式的解集是x1a＜x＜2.(2)当a＝0时，原不等式为－(x－2)＜0，解得x＞2，即原不等式的解集是{x|x＞2}.(3)当a＜0时，原不等式可以化为a(x－2)x－1a＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)·x－1a＞0，由于1a＜2，故原不等式的解集是x|x＜1a或x＞2.综上所述，当a＜0时，不等式的解集为x|x＜1a或x＞2；当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞2}；当0＜a＜12时，不等式的解集为x|2＜x＜1a；当a＝12时，不等式的解集为∅；当a＞12时，不等式的解集为x|1a＜x＜2.