【新高考复习】第3讲　定积分与微积分基本定理

第3讲定积分与微积分基本定理一、选择题1.(2017·西安调研)定积分01(2x＋ex)dx的值为()A.e＋2B.e＋1C.eD.e－1解析01(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)10)＝1＋e1－1＝e.故选C.答案C2.若1a2x＋1xdx＝3＋ln2(a1)，则a的值是()A.2B.3C.4D.6解析1a2x＋1xdx＝(x2＋lnx)a1＝a2＋lna－1，∴a2＋lna－1＝3＋ln2，则a＝2.答案A3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为()A.12gB.gC.32gD.2g解析电视塔高h＝12gtdt＝12gt221＝32g.答案C4.如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为()A.02|x2－1|dxB.02（x2－1）dxC.02(x2－1)dxD.01(x2－1)dx＋12(1－x2)dx解析由曲线y＝|x2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即02|x2－1|dx.答案A5.若S1＝12x2dx，S2＝121xdx，S3＝12exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A.S1S2S3B.S2S1S3C.S2S3S1D.S3S2S1解析S2＝121xdx＝ln2，S3＝12exdx＝e2－e，∵e2－e＝e(e－1)＞e＞73＞ln2，∴S2＜S1＜S3.答案B二、填空题6.已知t0，若0t(2x－2)dx＝8，则t＝________.解析由0t(2x－2)dx＝8得，(x2－2x)t0＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去).答案47.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的面积为________.解析根据f(x)的图象可设f(x)＝a(x＋1)·(x－1)(a0).因为f(x)的图象过(0，1)点，所以－a＝1，即a＝－1.所以f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.所以S＝－11(1－x2)dx＝201(1－x2)dx＝2x－13x310＝21－13＝43.答案438.(2017·济南模拟)设a0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.解析封闭图形如图所示，则0axdx＝＝23a32－0＝a2，解得a＝49.答案49三、解答题9.计算下列定积分：(1)12x－1xdx；(2)02－x2＋2xdx；(3)2sinx＋π4dx；(4)－11(x2tanx＋x3＋1)dx；(5)－22|x2－2x|dx.解(1)原式＝12x2－lnx21＝12×22－ln2－12－ln1＝32－ln2；(2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x＝0，x＝2，y＝－x2＋2x，以及x轴围成的图象的面积，即圆(x－1)2＋y2＝1的面积的一半，∴02－x2＋2x＝π2；(3)原式＝(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)＝－cosπ2＋sinπ2－(－cos0＋sin0)＝2；(4)原式＝－11(x2tanx＋x3)dx＋－111dx＝0＋x1-1＝2；(5)∵|x2－2x|＝x2－2x，－2≤x0，－x2＋2x，0≤x≤2，∴－22|x2－2x|dx＝－20(x2－2x)dx＋02(－x2＋2x)dx＝13x3－x20-2＋－13x3＋x220＝8.10.求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积.解作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组y＝x2，y＝x，得交点(1，1)，解方程组y＝x2，y＝3x，得交点(3，9)，因此，所求图形的面积为S＝01(3x－x)dx＋13(3x－x2)dx＝012xdx＋13(3x－x2)dx＝x210＋32x2－13x331＝1＋32×32－13×33－32×12－13×13＝133.11.若f(x)＝x2＋201f(x)dx，则01f(x)dx＝()A.－1B.－13C.13D.1解析由题意知f(x)＝x2＋201f(x)dx，设m＝01f(x)dx，∴f(x)＝x2＋2m，01f(x)dx＝01(x2＋2m)dx＝13x3＋2mx10＝13＋2m＝m，∴m＝－13.答案B12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A.1＋25ln5B.8＋25ln113C.4＋25ln5D.4＋50ln2解析令v(t)＝0，得t＝4或t＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s＝047－3t＋251＋tdt＝7t－32t2＋25ln（1＋t）40＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5(m).答案C13.(2017·郑州调研)－11(1－x2＋ex－1)dx＝________.解析－11(1－x2＋ex－1)dx＝－111－x2dx＋－11(ex－1)dx.因为－111－x2dx表示单位圆的上半部分的面积，则－111－x2dx＝π2，又－11(ex－1)dx＝(ex－x)|1－1＝(e1－1)－(e－1＋1)＝e－1e－2，所以－11(1－x2＋ex－1)dx＝π2＋e－1e－2.答案π2＋e－1e－214.在区间[0，1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值.解S1面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－0tx2dx＝23t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t2，1－t的面积，即S2＝t1x2dx－t2(1－t)＝23t3－t2＋13.所以阴影部分的面积S(t)＝S1＋S2＝43t3－t2＋13(0≤t≤1).令S′(t)＝4t2－2t＝4tt－12＝0，得t＝0或t＝12.t＝0时，S(t)＝13；t＝12时，S(t)＝14；t＝1时，S(t)＝23.所以当t＝12时，S(t)最小，且最小值为14.