【新高考复习】第1讲　直线的方程

第1讲直线的方程一、选择题1.直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析直线的斜率为k＝tanα＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°.答案B2.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是()A.x＋y－2＝0B.x－y＋2＝0C.x＋y－3＝0D.x－y＋3＝0解析圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.答案D3.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A.0，π4B.3π4，πC.0，π4∪π2，πD.π4，π2∪3π4，π解析∵直线的斜率k＝－1a2＋1，∴－1≤k＜0，则倾斜角的范围是3π4，π.答案B4.(2017·高安市期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是()A.6x－4y－3＝0B.3x－2y－3＝0C.2x＋3y－2＝0D.2x＋3y－1＝0解析因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为12，0，直线3x－2y＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l的方程为y＝32x－12，化为一般式，得6x－4y－3＝0.答案A5.(2016·广州质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A.13B.－13C.－32D.23解析依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有a＋7＝2，b＋1＝－2，解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为－3－17＋5＝－13.答案B6.(2017·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是()解析当a0，b0时，－a0，－b0.选项B符合.答案B7.(2016·衡水一模)已知直线l的斜率为3，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为()A.y＝3x＋2B.y＝3x－2C.y＝3x＋12D.y＝－3x＋2解析∵直线x－2y－4＝0的斜率为12，∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝3x＋2，故选A.答案A8.(2017·福州模拟)若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为()A.1B.2C.4D.8解析∵直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，∴a＋b＝ab，即1a＋1b＝1，∴a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝2时上式等号成立.∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.答案C二、填空题9.已知三角形的三个顶点A(－5，0，)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________.解析BC的中点坐标为32，－12，∴BC边上中线所在直线方程为y－0－12－0＝x＋532＋5，即x＋13y＋5＝0.答案x＋13y＋5＝010.若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈π6，π4∪2π3，π，则k的取值范围是________.解析当π6≤απ4时，33≤tanα1，∴33≤k1.当2π3≤απ时，－3≤tanα0，即－3≤k＜0，∴k∈33，1∪[－3，0).答案[－3，0)∪33，111.过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.解析①若直线过原点，则k＝－43，所以y＝－43x，即4x＋3y＝0.②若直线不过原点，设直线方程为xa＋ya＝1，即x＋y＝a.则a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x＋y＋1＝0.答案4x＋3y＝0或x＋y＋1＝012.直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________.解析直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，由x＋y＝0，－2x＋y＋6＝0，解得x＝2，y＝－2，所以直线l恒过定点(2，－2).答案(2，－2)13.已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为()A.4x－3y－3＝0B.3x－4y－3＝0C.3x－4y－4＝0D.4x－3y－4＝0解析由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为12，则tanα＝12，所以直线l的斜率k＝tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×121－122＝43，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝43(x－1)，即4x－3y－4＝0.答案D14.(2017·成都诊断)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0，π4，则点P横坐标的取值范围为()A.－1，－12B.[－1，0]C.[0，1]D.12，1解析由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0，π4，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－12.答案A15.已知直线l过坐标原点，若直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.解析设直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)的公共点为P(x，y).则点P(x，y)在线段AB上移动，且A(2，4)，B(3，2)，设直线l的斜率为k.又kOA＝2，kOB＝23.如图所示，可知23≤k≤2.∴直线l的斜率的取值范围是23，2.答案23，216.在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是________.解析直线OA的方程为y＝x，代入半圆方程得A(1，1)，∴H(1，0)，直线HB的方程为y＝x－1，代入半圆方程得B1＋32，－1＋32.所以直线AB的方程为y－1－1＋32－1＝x－11＋32－1，即3x＋y－3－1＝0.答案3x＋y－3－1＝0