【新高考复习】第3讲　圆的方程

第3讲圆的方程一、选择题1.已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A.x2＋y2＝2B.x2＋y2＝2C.x2＋y2＝1D.x2＋y2＝4解析AB的中点坐标为(0，0)，|AB|＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22，∴圆的方程为x2＋y2＝2.答案A2.(2017·漳州模拟)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为()A.(x－2)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y－2)2＝1C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1D.(x－1)2＋(y＋2)2＝1解析已知圆的圆心C(1，2)关于直线y＝x对称的点为C′(2，1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A.答案A3.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是()A.(－∞，－2)∪23，＋∞B.－23，0C.(－2，0)D.－2，23解析方程为x＋a22＋(y＋a)2＝1－a－3a24表示圆，则1－a－3a24＞0，解得－2＜a＜23.答案D4.(2017·淄博调研)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则x＝4＋x02，y＝－2＋y02，解得x0＝2x－4，y0＝2y＋2.因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x20＋y20＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案A5.(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A(1，0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.213C.253D.43解析由点B(0，3)，C(2，3)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①由点A(1，0)，B(0，3)，得线段AB的垂直平分线方程为y－32＝33x－12，②联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为1，233，其到原点的距离为12＋2332＝213.故选B.答案B二、填空题6.若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________.解析设圆心C坐标为(2，b)(b0)，则|b|＋1＝4＋b2.解得b＝－32，半径r＝|b|＋1＝52，故圆C的方程为：(x－2)2＋y＋322＝254.答案(x－2)2＋y＋322＝2547.(2017·广州模拟)已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为________.解析圆C的方程可化为x＋k22＋(y＋1)2＝－34k2＋1.所以，当k＝0时圆C的面积最大.答案(0，－1)8.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.解析过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，∵kCM＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.答案x＋y－1＝0三、解答题9.已知三条直线l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.解l2平行于x轴，l1与l3互相垂直.三交点A，B，C连线构成直角三角形，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆.解方程组x－2y＝0，y＋1＝0得x＝－2，y＝－1.所以点A的坐标是(－2，－1).解方程组2x＋y－1＝0，y＋1＝0得x＝1，y＝－1.所以点B的坐标是(1，－1).线段AB的中点坐标是－12，－1，又|AB|＝（－2－1）2＋（－1＋1）2＝3.故所求圆的标准方程是x＋122＋(y＋1)2＝94.10.在△ABC中，已知|BC|＝2，且|AB||AC|＝m，求点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.解如图，以直线BC为x轴、线段BC的中点为原点，建立直角坐标系.则有B(－1，0)，C(1，0)，设点A的坐标为(x，y).由|AB||AC|＝m，得（x＋1）2＋y2＝m（x－1）2＋y2.整理得(m2－1)x2＋(m2－1)y2－2(m2＋1)x＋(m2－1)＝0.①当m2＝1时，m＝1，方程是x＝0，轨迹是y轴.当m2≠1时，对①式配方，得x－m2＋1m2－12＋y2＝4m2（m2－1）2.所以，点A的轨迹是以m2＋1m2－1，0为圆心，2m|m2－1|为半径的圆(除去圆与BC的交点).11.若直线ax＋2by－2＝0(a0，b0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则1a＋2b的最小值为()A.1B.5C.42D.3＋22解析由题意知圆心C(2，1)在直线ax＋2by－2＝0上，∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，∴1a＋2b＝(1a＋2b)(a＋b)＝3＋ba＋2ab≥3＋2ba×2ab＝3＋22，当且仅当ba＝2ab，即b＝2－2，a＝2－1时，等号成立.∴1a＋2b的最小值为3＋22.答案D12.已知平面区域x≥0，y≥0，x＋2y－4≤0恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________.解析由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆.∵△OPQ为直角三角形，∴圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r＝|PQ|2＝5，因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.答案(x－2)2＋(y－1)2＝513.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________.解析设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x20＋(y0＋1)2＋x20＋(y0－1)2＝2(x20＋y20)＋2.x20＋y20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x20＋y20)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.答案7414.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA→＋TP→＝TQ→，求实数t的取值范围.解(1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6，7)，半径r＝5，由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0)，且（6－6）2＋（b－7）2＝b＋5.解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.(2)∵kOA＝2，∴可设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.又|BC|＝|OA|＝22＋42＝25，由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d＝52－|BC|22＝25－5＝25，即|2×6－7＋m|22＋（－1）2＝25，解得m＝5或m＝－15.∴直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.(3)由TA→＋TP→＝TQ→，则四边形AQPT为平行四边形，又∵P，Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10.∴|TA|＝|PQ|≤10，即（t－2）2＋42≤10，解得2－221≤t≤2＋221.故所求t的范围为[2－221，2＋221].