【新高考复习】第6讲　正弦定理和余弦定理

第6讲正弦定理和余弦定理一、选择题1.(2017·哈尔滨模拟)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为32，则C＝()A.30°B.45°C.60°D.75°解析法一∵S△ABC＝12·AB·AC·sinA＝32，即12×3×1×sinA＝32，∴sinA＝1，由A∈(0°，180°)，∴A＝90°，∴C＝60°.故选C.法二由正弦定理，得sinBAC＝sinCAB，即12＝sinC3，sinC＝32，又C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝34≠32(舍去).而当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝32，符合条件，故C＝60°.故选C.答案C2.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝2π3，a＝2，b＝233，则B等于()A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6解析∵A＝2π3，a＝2，b＝233，∴由正弦定理asinA＝bsinB可得，sinB＝basinA＝2332×32＝12.∵A＝2π3，∴B＝π6.答案D3.(2017·成都诊断)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析因为cos2B2＝a＋c2c，所以2cos2B2－1＝a＋cc－1，所以cosB＝ac，所以a2＋c2－b22ac＝ac，所以c2＝a2＋b2.所以△ABC为直角三角形.答案B4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为在△ABC中，a＞b⇔sinA＞sinB⇔sin2A＞sin2B⇔2sin2A＞2sin2B⇔1－2sin2A＜1－2sin2B⇔cos2A＜cos2B.所以“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的充分必要条件.答案C5.(2016·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.3π4B.π3C.π4D.π6解析在△ABC中，由b＝c，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2b2－a22b2，又a2＝2b2(1－sinA)，所以cosA＝sinA，即tanA＝1，又知A∈(0，π)，所以A＝π4，故选C.答案C二、填空题6.(2015·重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－14，3sinA＝2sinB，则c＝________.解析由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，又a＝2，所以b＝3，故c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×－14＝16，所以c＝4.答案47.(2017·江西九校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC＝________.解析因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得1sinA＝3sin60°，解得sinA＝12，因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此时C＝90°，所以S△ABC＝12ab＝32.答案328.(2016·北京卷)在△ABC中，A＝2π3，a＝3c，则bc＝________.解析在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cosA，将A＝2π3，a＝3c代入，可得(3c)2＝b2＋c2－2bc·－12，整理得2c2＝b2＋bc.∵c≠0，∴等式两边同时除以c2，得2＝bc2＋bc，可解得bc＝1.答案1三、解答题9.(2015·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为315，b－c＝2，cosA＝－14.(1)求a和sinC的值；(2)求cos2A＋π6的值.解(1)在△ABC中，由cosA＝－14，可得sinA＝154.由S△ABC＝12bcsinA＝315，得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a＝8.由asinA＝csinC，得sinC＝158.(2)cos2A＋π6＝cos2A·cosπ6－sin2A·sinπ6＝32(2cos2A－1)－12×2sinA·cosA＝15－7316.10.(2015·全国Ⅱ卷)在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.(1)求sinBsinC；(2)若∠BAC＝60°，求∠B.解(1)由正弦定理得ADsinB＝BDsin∠BAD，ADsinC＝DCsin∠CAD.因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以sinBsinC＝DCBD＝12.(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，所以sinC＝sin(∠BAC＋∠B)＝32cosB＋12sinB.由(1)知2sinB＝sinC，所以tanB＝33，即∠B＝30°.11.(2017·郑州调研)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A.0，π6B.π6，πC.0，π3D.π3，π解析由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，于是b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，∴cosA≥12，在△ABC中，A∈(0，π).由余弦函数的性质，得0A≤π3.答案C12.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝23，a＋b＝6，acosB＋bcosAc＝2cosC，则c＝()A.27B.4C.23D.33解析∵acosB＋bcosAc＝2cosC，由正弦定理，得sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosC，∴sin(A＋B)＝sinC＝2sinCcosC，由于0＜C＜π，sinC≠0，∴cosC＝12，∴C＝π3，∵S△ABC＝23＝12absinC＝34ab，∴ab＝8，又a＋b＝6，解得a＝2，b＝4或a＝4，b＝2，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋16－8＝12，∴c＝23，故选C.答案C13.(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________.解析如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BFABBE.在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，∴BF＝22＋22－2×2×2cos30°＝6－2.在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，BE＝CE，BC＝2，BEsin75°＝2sin30°，∴BE＝212×6＋24＝6＋2.∴6－2AB6＋2.答案(6－2，6＋2)14.设f(x)＝sinxcosx－cos2x＋π4.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若fA2＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值.解(1)由题意知f(x)＝sin2x2－1＋cos2x＋π22＝sin2x2－1－sin2x2＝sin2x－12.由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ，k∈Z,可得－π4＋kπ≤x≤π4＋kπ，k∈Z；由π2＋2kπ≤2x≤3π2＋2kπ，k∈Z,可得π4＋kπ≤x≤3π4＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)；单调递减区间是π4＋kπ，3π4＋kπ(k∈Z).(2)由fA2＝sinA－12＝0，得sinA＝12，由题意知A为锐角，所以cosA＝32.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋3bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋3，且当b＝c时等号成立.因此12bcsinA≤2＋34.所以△ABC面积的最大值为2＋34.