【新高考复习】3 第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 新题培优练

[基础题组练]1．已知命题p：所有的指数函数都是单调函数，则﹁p为()A．所有的指数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是指数函数C．存在一个指数函数，它不是单调函数D．存在一个单调函数，它不是指数函数解析：选C.命题p：所有的指数函数都是单调函数，则﹁p：存在一个指数函数，它不是单调函数．2．已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则()A．p是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0C．p是真命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0解析：选B.因为3x＞0，所以3x＋1＞1，则log2(3x＋1)＞0，所以p是假命题，﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0.故应选B.3．(2019·玉溪模拟)有四个关于三角函数的命题：P1：∃x∈R，sinx＋cosx＝2；P2：∃x∈R，sin2x＝sinx；P3：∀x∈－π2，π2，1＋cos2x2＝cosx；P4：∀x∈(0，π)，sinx＞cosx.其中真命题是()A．P1，P4B．P2，P3C．P3，P4D．P2，P4解析：选B.因为sinx＋cosx＝2sinx＋π4，所以sinx＋cosx的最大值为2，可得不存在x∈R，使sinx＋cosx＝2成立，得命题P1是假命题；因为存在x＝kπ(k∈Z)，使sin2x＝sinx成立，故命题P2是真命题；因为1＋cos2x2＝cos2x，所以1＋cos2x2＝|cosx|，结合x∈－π2，π2得cosx≥0，由此可得1＋cos2x2＝cosx，得命题P3是真命题；因为当x＝π4时，sinx＝cosx＝22，不满足sinx＞cosx，所以存在x∈(0，π)，使sinx＞cosx不成立，故命题P4是假命题．故选B.4．“p∨q为真”是“﹁p为假”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.因为﹁p为假，所以p为真，所以“p∨q为真”，反之不成立，可能q为真，p为假，﹁p为真．所以“p∨q为真”是“﹁p为假”的必要不充分条件．故选B.5．已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是()A．“p∨q”为真命题B．“p∧q”为真命题C．“﹁p”为真命题D．“﹁q”为假命题解析：选A.由a＞|b|≥0，得a2＞b2，所以命题p为真命题．因为x2＝4⇔x＝±2，所以命题q为假命题．所以“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“﹁p”为假命题，“﹁q”为真命题．综上所述，可知选A.6．(2019·安徽芜湖、马鞍山联考)已知命题p：∃x∈R，x－2＞lgx，命题q：∀x∈R，ex＞x，则()A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(﹁q)是真命题D．命题p∨(﹁q)是假命题解析：选B.显然，当x＝10时，x－2＞lgx成立，所以命题p为真命题．设f(x)＝ex－x，则f′(x)＝ex－1，当x＞0时，f′(x)＞0，当x＜0时，f′(x)＜0，所以f(x)≥f(0)＝1＞0，所以∀x∈R，ex＞x，所以命题q为真命题．故命题p∧q是真命题，故选B.7．(2019·惠州第一次调研)设命题p：若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则∀x∈R，f(－x)≠f(x)．命题q：f(x)＝x|x|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是()A．p为假命题B．﹁q为真命题C．p∨q为真命题D．p∧q为假命题解析：选C.函数f(x)不是偶函数，仍然可∃x，使得f(－x)＝f(x)，p为假命题；f(x)＝x|x|＝x2（x≥0），－x2（x＜0）在R上是增函数，q为假命题．所以p∨q为假命题，故选C.8．(2019·南昌第二次模拟)已知函数f(x)＝ax2＋x＋a，命题p：∃x0∈R，f(x0)＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是()A.－12，12B.－12，12C.－∞，－12∪12，＋∞D.－∞，－12∪12，＋∞解析：选C.因为命题p：∃x0∈R，f(x0)＝0是假命题，所以方程f(x)＝0没有实数根，因为f(x)＝ax2＋x＋a，所以方程ax2＋x＋a＝0没有实数根.因为a＝0时，x＝0为方程ax2＋x＋a＝0的根，所以a≠0，所以Δ＝1－4a2＜0且a≠0，所以a＜－12或a＞12，故选C.9．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＜3x；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．下列命题为真命题的是()A．p∧qB．(﹁p)∧(﹁q)C．(﹁p)∧qD．p∧(﹁q)解析：选B.由20＝30知，p为假命题；命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”，但是“x＞2”能推出“x＞1”，所以“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q为假命题．所以(﹁p)∧(﹁q)为真命题．故选B.10．(2019·湖北荆州调研)已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋4x的最小值为4.给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∨(﹁q)，则其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.由于Δ＝4a2＋4＞0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是真命题；当x＜0时，f(x)＝x＋4x的值为负值，故命题q为假命题．所以p∨q，p∧(﹁q)，(﹁p)∨(﹁q)是真命题，故选C.11．(2019·沈阳期中)有下列四个命题：(1)命题p：∀x∈R，x2＞0为真命题；(2)设p：xx＋2＞0，q：x2＋x－2＞0，则p是q的充分不必要条件；(3)命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题是假命题；(4)非零向量a与b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°.其中真命题有()A．3个B．2个C．1个D．0个解析：选C.对于(1)，∀x∈R，x2≥0，故(1)为假命题；对于(2)，设p：xx＋2＞0，q：x2＋x－2＞0，可得p∶x＞0或x＜－2；q：x＞1或x＜－2.由p推不到q，但由q推得p，则p是q的必要不充分条件，故(2)为假命题；对于(3)，命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题为：若ab≠0，则a≠0且b≠0，其否命题是真命题，故(3)为假命题；对于(4)，非零向量a与b满足|a|＝|b|＝|a－b|，可设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝a＋b，BA→＝a－b，可得△OAB为等边三角形，四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，可得a与a＋b的夹角为30°，故(4)为真命题．故选C.12．(2019·济南模拟)已知命题p：关于m的不等式log2m＜1的解集为{m|m＜2}；命题q：函数f(x)＝x3＋x2－1有极值.下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∧(﹁q)C．(﹁p)∧qD．(綈p)∧(﹁q)解析：选C.由log2m＜1，得0＜m＜2，故命题p为假命题；f′(x)＝3x2＋2x，令f′(x)＝0得x＝－23或x＝0，所以f(x)在－∞，－23和(0，＋∞)上单调递增，在－23，0上单调递减，故f(x)有极值，所以命题q为真命题.所以(﹁p)∧q为真命题．[综合题组练]1．(创新型)在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是()A．(﹁p)∨(﹁q)为真命题B．p∨(﹁q)为真命题C．(﹁p)∧(﹁q)为真命题D．p∨q为真命题解析：选A.命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题﹁p是“第一次射击没击中目标”，命题﹁q是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(﹁p)∨(﹁q)为真命题，故选A.2．(2019·河北武邑中学模拟)给出下列四个命题：①若x∈A∩B，则x∈A或x∈B；②∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x；③若a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要条件；④“∃x0∈R，x20＋2＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”．其中真命题的序号是________．解析：①若x∈A∩B，则x∈A且x∈B.所以①为假命题；②当x＝4时，x2＝2x，所以②为假命题；③取a＝0，b＝－1，则a＞b，但a2＜b2；取a＝－2，b＝－1，则a2＞b2，但a＜b，故若a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，所以③为假命题；④“∃x0∈R，x20＋2＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，所以④为真命题．答案：④3．(应用型)若∃x0∈12，2，使得2x20－λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．解析：因为∃x0∈12，2，使得2x20－λx0＋1＜0成立是假命题，所以∀x∈12，2，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈12，2，使得λ≤2x＋1x恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋1x，则f′(x)＝2－1x2，当x∈12，22时，f′(x)＜0，当x∈22，2时，f′(x)＞0，所以f(x)≥f22＝22，则λ≤22.答案：(－∞，22]4．(应用型)已知命题p：∀x∈R，不等式ax2＋22x＋1＜0的解集为空集；命题q：f(x)＝(2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，若命题p∧(綈q)是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：因为∀x∈R，不等式ax2＋22x＋1＜0的解集为空集，所以当a＝0时，不满足题意；当a≠0时，必须满足a＞0，Δ＝（22）2－4a≤0，解得a≥2.由f(x)＝(2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，可得函数f(x)在R上单调递减，则0＜2a－5＜1，解得52＜a＜3.若命题p∧(綈q)是真命题，则p为真命题，q为假命题，所以a≥2，a≤52或a≥3，解得2≤a≤52或a≥3，则实数a的取值范围是2，52∪[3，＋∞)．答案：2，52∪[3，＋∞)