【新高考复习】第4讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

第4讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A.x＝kπ2－π6(k∈Z)B.x＝kπ2＋π6(k∈Z)C.x＝kπ2－π12(k∈Z)D.x＝kπ2＋π12(k∈Z)解析由题意将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin2x＋π6，由2x＋π6＝kπ＋π2得函数的对称轴为x＝kπ2＋π6(k∈Z)，故选B.答案B2.(2017·衡水中学金卷)若函数y＝sin(ωx－φ)(ω0，|φ|π2)在区间－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A.ω＝2，φ＝π3B.ω＝2，φ＝－2π3C.ω＝12，φ＝π3D.ω＝12，φ＝－2π3解析由图可知，T＝2π6－－π3＝π，所以ω＝2πT＝2，又sin2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝π3－kπ(k∈Z)，而|φ|π2，所以φ＝π3，故选A.答案A3.(2017·昆明市两区七校模拟)将函数f(x)＝3sinx－cosx的图象沿着x轴向右平移a(a0)个单位后的图象关于y轴对称，则a的最小值是()A.π6B.π3C.π2D.2π3解析依题意得f(x)＝2sinx－π6，因为函数f(x－a)＝2sinx－a－π6的图象关于y轴对称，所以sin－a－π6＝±1，a＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，即a＝kπ＋π3，k∈Z，因此正数a的最小值是π3，选B.答案B4.(2016·长沙模拟)函数f(x)＝3sinπ2x－log12x的零点的个数是()A.2B.3C.4D.5解析函数y＝3sinπ2x的周期T＝2ππ2＝4，由log12x＝3，可得x＝18.由log12x＝－3，可得x＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝3sinπ2x和y＝log12x的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f(x)有5个零点.答案D5.(2017·呼和浩特调研)如图是函数f(x)＝sin2x和函数g(x)的部分图象，则g(x)的图象可能是由f(x)的图象()A.向右平移2π3个单位得到的B.向右平移π3个单位得到的C.向右平移7π12个单位得到的D.向右平移π6个单位得到的解析由函数f(x)＝sin2x和函数g(x)的部分图象，可得g(x)的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标为m，则有17π24－m＝π4－π8，解得m＝7π12，故把函数f(x)＝sin2x的图象向右平移7π12－π4＝π3个单位，即可得到函数g(x)的图象，故选B.答案B二、填空题6.(2016·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acosπ6（x－6）(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温为________℃.解析因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，所以y＝f(x)＝23＋5cosπ6（x－6），所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cosπ6×4＝23－5×12＝20.5.答案20.57.(2016·全国Ⅲ卷)函数y＝sinx－3cosx的图象可由函数y＝sinx＋3cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到.解析y＝sinx－3cosx＝2sinx－π3，y＝sinx＋3cosx＝2sinx＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到.答案2π38.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点2，－12，则函数f(x)的解析式为________.解析据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得T22＋（1＋1）2＝22，解得T＝4，故ω＝2πT＝π2，即f(x)＝sinπx2＋φ.又函数图象过点2，－12，故f(2)＝sinπ2×2＋φ＝－sinφ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f(x)＝sinπx2＋π6.答案f(x)＝sinπx2＋π6三、解答题9.已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx＋π6，其中x∈R，ω＞0.(1)当ω＝1时，求fπ3的值；(2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在0，π4上取得最大值时x的值.解(1)当ω＝1时，fπ3＝sinπ3＋cosπ2＝32＋0＝32.(2)f(x)＝sinωx＋cosωx＋π6＝sinωx＋32cosωx－12sinωx＝12sinωx＋32cosωx＝sinωx＋π3.∵2π|ω|＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f(x)＝sin2x＋π3.由x∈0，π4，得2x＋π3∈π3，5π6，∴当2x＋π3＝π2，即x＝π12时，f(x)max＝1.10.已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求fπ4的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移π12个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.解(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.又f(x)的图象关于直线x＝π3对称，所以2×π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，因为－π2≤φ＜π2，所以k＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f(x)＝3sin2x－π6，则fπ4＝3sin2×π4－π6＝3sinπ3＝32.(2)将f(x)的图象向右平移π12个单位后，得到fx－π12的图象，所以g(x)＝fx－π12＝3sin2x－π12－π6＝3sin2x－π3.当2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)，即kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12(k∈Z)时，g(x)单调递减.因此g(x)的单调递减区间为kπ＋5π12，kπ＋11π12(k∈Z).11.(2017·西安调研)设函数f(x)＝sin2x＋π6，则下列结论正确的是()A.f(x)的图象关于直线x＝π3对称B.f(x)的图象关于点π6，0对称C.f(x)的最小正周期为π，且在0，π12上为增函数D.把f(x)的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象解析对于函数f(x)＝sin2x＋π6，当x＝π3时，fπ3＝sin5π6＝12，故A错；当x＝π6时，fπ6＝sinπ2＝1，故π6，0不是函数的对称点，故B错；函数的最小正周期为T＝2π2＝π，当x∈0，π12时，2x＋π6∈π6，π3，此时函数为增函数，故C正确；把f(x)的图象向右平移π12个单位，得到g(x)＝sin2x－π12＋π6＝sin2x，函数是奇函数，故D错.答案C12.(2017·承德一模)已知函数f(x)＝2sinωx在区间－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是()A.－∞，－92∪[6，＋∞)B.－∞，－92∪32，＋∞C.(－∞，－2]∪[6，＋∞)D.(－∞，－2]∪32，＋∞解析当ω0时，－π3ω≤ωx≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω0时，π4ω≤ωx≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪32，＋∞.答案D13.已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为________.解析f(x)＝3sinωx＋cosωx＝2sinωx＋π6.由2sinωx＋π6＝1得sinωx＋π6＝12，∴ωx＋π6＝2kπ＋π6或ωx＋π6＝2kπ＋56π(k∈Z).令k＝0，得ωx1＋π6＝π6，ωx2＋π6＝56π，∴x1＝0，x2＝2π3ω.由|x1－x2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.答案π14.(2017·郑州模拟)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，并求出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数y＝g(x)的图象.若关于x的方程g(x)－(2m＋1)＝0在区间0，π2上有两个不同的解，求实数m的取值范围.解(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12Asin(ωx＋φ)050－50且函数表达式为f(x)＝5sin2x－π6.(2)通过平移，g(x)＝5sin2x＋π6，方程g(x)－(2m＋1)＝0可看成函数y＝g(x)和函数y＝2m＋1的图象在0，π2上有两个交点，当x∈0，π2时，2x＋π6∈π6，7π6，为使直线y＝2m＋1与函数y＝g(x)的图象在0，π2上有两个交点，结合函数y＝g(x)在[0，π2]上的图象，只需52≤2m＋15，解得34≤m2.即实数m的取值范围为34，2.