【新高考复习】第4讲　幂函数与二次函数

第4讲幂函数与二次函数一、选择题1.(2017·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为()A.1，3B.－1，1C.－1，3D.－1，1，3解析因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.答案A2.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)f(1)，则()A.a0，4a＋b＝0B.a0，4a＋b＝0C.a0，2a＋b＝0D.a0，2a＋b＝0解析因为f(0)＝f(4)f(1)，所以函数图象应开口向上，即a0，且其对称轴为x＝2，即－b2a＝2，所以4a＋b＝0.答案A3.在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋1a的图象可能是()解析若a0，由y＝xa的图象知排除C，D选项，由y＝ax＋1a的图象知应选B；若a0，y＝xa的图象知排除A，B选项，但y＝ax＋1a的图象均不适合，综上选B.答案B4.(2017·焦作模拟)函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝f（x）x在区间(1，＋∞)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数解析∵f(x)＝x2－2ax＋a在(－∞，1)上有最小值，且f(x)关于x＝a对称，∴a1，则g(x)＝x＋ax－2a(x1).若a≤0，则g(x)在(1，＋∞)上是增函数，若0a1，则g(x)在(a，＋∞)上是增函数，∴g(x)在(1，＋∞)上是增函数，综上可得g(x)＝x＋ax－2a在(1，＋∞)上是增函数.答案D5.若关于x的不等式x2－4x－2－a0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是()A.(－∞，－2)B.(－2，＋∞)C.(－6，＋∞)D.(－∞，－6)解析不等式x2－4x－2－a0在区间(1，4)内有解等价于a(x2－4x－2)max，令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，所以f(x)f(4)＝－2，所以a－2.答案A二、填空题6.已知P＝2－32，Q＝253，R＝123，则P，Q，R的大小关系是________.解析P＝2－32＝223，根据函数y＝x3是R上的增函数，且221225，得223123253，即PRQ.答案PRQ7.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是________.解析由f(x)＝－x2＋2ax在[1，2]上是减函数可得[1，2]⊆[a，＋∞)，∴a≤1.∵y＝1x＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g(x)＝ax＋1在[1，2]上是减函数可得a0，故0a≤1.答案(0，1]8.已知函数y＝f(x)是偶函数，当x0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈－2，－12时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为________.解析当x0时，－x0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，∵x∈－2，－12，∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，∴m≥1，n≤0，m－n≥1.∴m－n的最小值是1.答案1三、解答题9.已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的图象经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)f(a－1)的实数a的取值范围.解幂函数f(x)的图象经过点(2，2)，∴2＝2(m2＋m)－1，即212＝2(m2＋m)－1.∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.又∵m∈N*，∴m＝1.∴f(x)＝x12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数.由f(2－a)f(a－1)得2－a≥0，a－1≥0，2－aa－1，解得1≤a32.∴a的取值范围为1，32.10.已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.解(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，对称轴x＝－32∈[－2，3]，∴f(x)min＝f－32＝94－92－3＝－214，f(x)max＝f(3)＝15，∴值域为－214，15.(2)对称轴为x＝－2a－12.①当－2a－12≤1，即a≥－12时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－13满足题意；②当－2a－121，即a－12时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意.综上可知，a＝－13或－1.11.(2016·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析∵f(x)＝x2＋bx＝x＋b22－b24，当x＝－b2时，f(x)min＝－b24.又f(f(x))＝(f(x))2＋bf(x)＝f（x）＋b22－b24，当f(x)＝－b2时，f(f(x))min＝－b24，当－b2≥－b24时，f(f(x))可以取到最小值－b24，即b2－2b≥0，解得b≤0或b≥2，故“b0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件.答案A12.(2017·长沙一中期中测试)函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足f（x1）－f（x2）x1－x20，若a，b∈R，且a＋b0，则f(a)＋f(b)的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断解析依题意，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴m2－m－1＝1，4m9－m5－10，解得m＝2，则f(x)＝x2015.∴函数f(x)＝x2015在R上是奇函数，且为增函数.由a＋b0，得a－b，∴f(a)f(－b)，则f(a)＋f(b)0.答案A13.已知函数f(x)＝2x，x≥2，（x－1）3，x2，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是______.解析作出函数y＝f(x)的图象如图.则当0k1时，关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根.答案(0，1)14.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a0，b∈R，c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝f（x），x0，－f（x），x0，求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围.解(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－b2a＝－1，解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝（x＋1）2，x0，－（x＋1）2，x0.∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，从而|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0，1]上恒成立，即b≤1x－x且b≥－1x－x在(0，1]上恒成立.又1x－x的最小值为0，－1x－x的最大值为－2.∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2，0].