【新高考复习】第5讲　指数与指数函数

第5讲指数与指数函数一、选择题1.(2017·衡水中学模拟)若a＝23x，b＝x2，c＝log23x，则当x1时，a，b，c的大小关系是()A.cabB.cbaC.abcD.acb解析当x1时，0a＝23x23，b＝x21，c＝log23x0，所以cab.答案A2.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a1，b0B.a1，b0C.0a1，b0D.0a1，b0解析由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b0.答案D3.(2017·德州一模)已知a＝3525，b＝2535，c＝2525，则()A.abcB.cbaC.cabD.bca解析∵y＝25x在R上为减函数，3525，∴bc.又∵y＝x25在(0，＋∞)上为增函数，3525，∴ac，∴bca.答案D4.(2017·安阳模拟)已知函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于()A.1B.aC.2D.a2解析∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，∴x1＋x2＝0.又∵f(x)＝ax，∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1.答案A5.(2017·西安调研)若函数f(x)＝a|2x－4|(a0，且a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是()A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析由f(1)＝19，得a2＝19，解得a＝13或a＝－13(舍去)，即f(x)＝13|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减.答案B二、填空题6.32－13×－760＋814×42－－2323＝________.解析原式＝2313×1＋234×214－2313＝2.答案27.(2015·江苏卷)不等式2x2－x4的解集为________.解析∵2x2－x4，∴2x2－x22，∴x2－x2，即x2－x－20，解得－1x2.答案{x|－1x2}8.(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值.若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________.解析f(x)＝ex，x≥1，e|x－2|，x1.当x≥1时，f(x)＝ex≥e(x＝1时，取等号)，当x1时，f(x)＝e|x－2|＝e2－xe，因此x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝e.答案e三、解答题9.已知f(x)＝1ax－1＋12x3(a0，且a≠1).(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立.解(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.对于定义域内任意x，有f(－x)＝1a－x－1＋12(－x)3＝ax1－ax＋12(－x)3＝－1－1ax－1＋12(－x)3＝1ax－1＋12x3＝f(x).∴f(x)是偶函数.(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x0时的情况，当x0时，要使f(x)0，即1ax－1＋12x30，即1ax－1＋120，即ax＋12（ax－1）0，则ax1.又∵x0，∴a1.因此a1时，f(x)0.10.已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数.(1)求a，b的值；(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)0.解(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，所以f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数).又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)0等价于f(t2－2t)－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1).因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t－2t2＋1，即3t2－2t－10，解不等式可得t＞1或t＜－13，故原不等式的解集为t|t1或t－13.11.若存在正数x使2x(x－a)1成立，则a的取值范围是()A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞)解析因为2x0，所以由2x(x－a)1得ax－12x，令f(x)＝x－12x，则函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)f(0)＝0－120＝－1，所以a－1.答案D12.(2017·宜宾诊断检测)已知函数f(x)＝x－4＋9x＋1，x∈(0，4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为()解析∵x∈(0，4)，∴x＋11，∴f(x)＝x＋1＋9x＋1－5≥29－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时，取等号.∴a＝2，b＝1.因此g(x)＝2|x＋1|，该函数图象由y＝2|x|向左平移一个单位得到，结合图象知A正确.答案A13.(2017·北京丰台一模)已知奇函数y＝f（x），x0，g（x），x0.如果f(x)＝ax(a0，且a≠1)对应的图象如图所示，那么g(x)＝________.解析依题意，f(1)＝12，∴a＝12，∴f(x)＝12x，x0.当x0时，－x0.∴g(x)＝－f(－x)＝－12－x＝－2x.答案－2x(x0)14.(2017·天津期末)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.解(1)∵f(x)＝ex－1ex，∴f′(x)＝ex＋1ex，∴f′(x)0对任意x∈R都成立，∴f(x)在R上是增函数.又∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立，⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，⇔t2＋t≤x2＋x＝x＋122－14对一切x∈R都成立，⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－14⇔t2＋t＋14＝t＋122≤0，又t＋122≥0，∴t＋122＝0，∴t＝－12.∴存在t＝－12，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立.