【新高考复习】第6讲　对数与对数函数

第6讲对数与对数函数一、选择题1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“ab1”是“log2alog2b0”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当ab1时，有log2alog2blog21＝0；当log2alog2b0＝log21时，有ab1.答案A2.(2017·石家庄模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A.a＝bcB.a＝bcC.abcD.abc解析因为a＝log23＋log23＝log233＝32log231，b＝log29－log23＝log233＝a，c＝log32log33＝1.答案B3.若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()解析由题意y＝logax(a0，且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝13x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符.故选B.答案B4.已知函数f(x)＝log2x，x0，3－x＋1，x≤0，则f(f(1))＋flog312的值是()A.5B.3C.－1D.72解析由题意可知f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，flog312＝3－log312＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，所以f(f(1))＋flog312＝5.答案A5.(2016·浙江卷)已知a，b0且a≠1，b≠1，若logab1，则()A.(a－1)(b－1)0B.(a－1)(a－b)0C.(b－1)(b－a)0D.(b－1)(b－a)0解析∵a0，b0且a≠1，b≠1.由logab1得logaba0.∴a1，且ba1或0a1且0ba1，则ba1或0ba1.故(b－a)(b－1)0.答案D二、填空题6.设f(x)＝log21－x＋a是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是________.解析由f(x)是奇函数可得a＝－1，∴f(x)＝lg1＋x1－x，定义域为(－1，1).由f(x)0，可得01＋x1－x1，∴－1x0.答案(－1，0)7.设函数f(x)满足f(x)＝1＋f12log2x，则f(2)＝________.解析由已知得f12＝1－f12·log22，则f12＝12，则f(x)＝1＋12·log2x，故f(2)＝1＋12·log22＝32.答案328.(2015·福建卷)若函数f(x)＝－x＋6，x≤2，3＋logax，x2(a0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.解析当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以a＞13＋loga2≥4，解1＜a≤2，所以实数a的取值范围为(1，2].答案(1，2]三、解答题9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a0，a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间0，32上的最大值.解(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a0，a≠1)，∴a＝2.由1＋x0，3－x0，得－1＜x＜3，∴函数f(x)的定义域为(－1，3).(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在0，32上的最大值是f(1)＝log24＝2.10.(2016·衡阳月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x0时，f(x)＝log12x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)－2.解(1)当x0时，－x0，则f(－x)＝log12(－x).因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log12(－x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝log12x，x0，0，x＝0，log12（－x），x0.(2)因为f(4)＝log124＝－2，f(x)是偶函数，所以不等式f(x2－1)－2转化为f(|x2－1|)f(4).又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以|x2－1|4，解得－5x5，即不等式的解集为(－5，5).11.(2017·青岛质检)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，若a＝f(20.3)，b＝f(log124)，c＝f(log25)，则a，b，c的大小关系是()A.abcB.cbaC.cabD.acb解析函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，∴f(x)在[0，＋∞)为增函数，∵b＝f(log124)＝f(－2)＝f(2)，120.32log25，∴cba.答案B12.已知函数f(x)＝lnx1－x，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是________.解析由题意可知lna1－a＋lnb1－b＝0，即lna1－a×b1－b＝0，从而a1－a×b1－b＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－a－122＋14，又0＜a＜b＜1，∴0＜a＜12，故0＜－a－122＋14＜14.答案0，1413.(2016·浙江卷)已知ab1，若logab＋logba＝52，ab＝ba，则a＝________，b＝________.解析∵logab＋logba＝logab＋1logab＝52，∴logab＝2或12.∵ab1，∴logablogaa＝1，∴logab＝12，∴a＝b2.∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，∴b2b＝bb2，∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4.答案4214.设x∈[2，8]时，函数f(x)＝12loga(ax)·loga(a2x)(a0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a的值.解由题意知f(x)＝12(logax＋1)(logax＋2)＝12(log2ax＋3logax＋2)＝12logax＋322－18.当f(x)取最小值－18时，logax＝－32.又∵x∈[2，8]，∴a∈(0，1).∵f(x)是关于logax的二次函数，∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得.若12loga2＋322－18＝1，则a＝2－13，此时f(x)取得最小值时，x＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去.若12loga8＋322－18＝1，则a＝12，此时f(x)取得最小值时，x＝12－32＝22∈[2，8]，符合题意，∴a＝12.