【新高考复习】第3讲　平面向量的数量积及其应用

第3讲平面向量的数量积及其应用一、选择题1.(2016·兰州诊断考试)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝()A.0B.1C.2D.5解析|a－b|＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝1＋4＝5.答案D2.(2015·陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.(a＋b)2＝|a＋b|2D.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析对于A，由|a·b|＝||a||b|cosa，b|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.答案B3.已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，则|b|＝()A.25B.5C.10D.5解析∵a∥b，∴1x＝－22，解得x＝－1，∴b＝(－1，2)，∴|b|＝（－1）2＋22＝5.故选B.答案B4.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB→＝(1，－2)，AD→＝(2，1)，则AD→·AC→等于()A.5B.4C.3D.2解析∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC→＝AB→＋AD→＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1).∴AD→·AC→＝2×3＋(－1)×1＝5，选A.答案A5.(2015·重庆卷)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A.π3B.π2C.2π3D.5π6解析因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，得到a·b＝－2|a|2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－2|a|24|a|2＝－12，又0≤θ≤π，所以θ＝2π3，故选C.答案C二、填空题6.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________.解析由题意，得a·b＝0⇒x＋2(x＋1)＝0⇒x＝－23.答案－237.(2016·北京卷)设a，b是向量.则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的________条件.解析|a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔a·b＝0，∴|a＋b|＝|a－b|⇒/|a|＝|b|；|a|＝|b|⇒/a·b＝0，得不到|a＋b|＝|a－b|，因此“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分又不必要条件.答案既不充分也不必要8.已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________.解析由已知得AB→＝OB→－OA→＝(3，1)，AC→＝OC→－OA→＝(2－m，1－m).若AB→∥AC→，则有3(1－m)＝2－m，解得m＝12.由题设知，BA→＝(－3，－1)，BC→＝(－1－m，－m).∵∠ABC为锐角，∴BA→·BC→＝3＋3m＋m0，可得m－34.由题意知，当m＝12时，AB→∥AC→，且AB→与AC→同向.故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是－34，12∪12，＋∞.答案－34，12∪12，＋∞三、解答题9.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积.解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13.(3)∵AB→与BC→的夹角θ＝2π3，∴∠ABC＝π－2π3＝π3.又|AB→|＝|a|＝4，|BC→|＝|b|＝3，∴S△ABC＝12|AB→||BC→|sin∠ABC＝12×4×3×32＝33.10.(2017·德州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－35.(1)求sinA的值；(2)若a＝42，b＝5，求角B的大小及向量BA→在BC→方向上的投影.解(1)由m·n＝－35，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－35，所以cosA＝－35.因为0Aπ，所以sinA＝1－cos2A＝1－－352＝45.(2)由正弦定理，得asinA＝bsinB，则sinB＝bsinAa＝5×4542＝22，因为ab，所以AB，且B是△ABC一内角，则B＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c2－2×5c×－35，解得c＝1，c＝－7舍去，故向量BA→在BC→方向上的投影为|BA→|cosB＝ccosB＝1×22＝22.11.(必修4P1201(6)改编)若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|等于()A.2B.5C.2或5D.2或5解析由于平面向量a，b，c两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于2π3或0°，|a＋b＋c|＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c当夹角为0时，上式值为5；当夹角为2π3时，上式值为2.故选C.答案C12.(2015·山东卷)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→·CD→等于()A.－32a2B.－34a2C.34a2D.32a2解析在菱形ABCD中，BA→＝CD→，BD→＝BA→＋BC→，所以BD→·CD→＝(BA→＋BC→)·CD→＝BA→·CD→＋BC→·CD→＝a2＋a×a×cos60°＝a2＋12a2＝32a2.答案D13.(2017·洛阳统考)已知A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|(O为坐标原点)，则锐角θ＝________.解析法一利用几何意义求解：由已知可知，OA→＋OB→是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量OD→，OA→－OB→则是对角线向量BA→，于是对角线相等的平行四边形为矩形.故OA⊥OB.因此OA→·OB→＝0，∴锐角θ＝π4.法二坐标法：OA→＋OB→＝(sinθ－1，cosθ＋1)，OA→－OB→＝(－sinθ－1，cosθ－1)，由|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|可得(sinθ－1)2＋(cosθ＋1)2＝(－sinθ－1)2＋(cosθ－1)2，整理得sinθ＝cosθ，于是锐角θ＝π4.答案π414.在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且OP→＝mAB→＋nAC→(m，n∈R).(1)若m＝n＝23，求|OP→|；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值.解(1)∵m＝n＝23，AB→＝(1，2)，AC→＝(2，1)，∴OP→＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)，∴|OP→|＝22＋22＝22.(2)∵OP→＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，∴x＝m＋2n，y＝2m＋n，两式相减，得m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.