【新高考复习】第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.(2015·湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则()A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析直线l1，l2是异面直线，一定有l1与l2不相交，因此p是q的充分条件；若l1与l2不相交，那么l1与l2可能平行，也可能是异面直线，所以p不是q的必要条件.故选A.答案A2.(2017·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.答案D3.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是()A.①B.①④C.②③D.③④解析显然命题①正确.由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错.命题③中，两个平面重合或相交，③错.三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确.答案B4.(2017·济南模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.答案C5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为()A.45B.35C.23D.57解析连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角.设正方体棱长为a，则D1D＝a，DF＝52a，D1F＝52a，∴cos∠D1FD＝52a2＋52a2－a22·52a·52a＝35.答案B二、填空题6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________(填序号).解析A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，C1∉AM，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，①②错；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，B∉MB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确；连接D1C，因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.答案③④7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.解析取CD的中点H，连接EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，且EH∩FH＝H，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交.答案48.(2014·全国Ⅱ卷改编)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为________.解析如图所示，取BC中点D，连接MN，ND，AD.∵M，N分别是A1B1，A1C1的中点，∴MN綉12B1C1.又BD綉12B1C1，∴MN綉BD，则四边形BDNM为平行四边形，因此ND∥BM，∴∠AND为异面直线BM与AN所成的角(或其补角).设BC＝2，则BM＝ND＝6，AN＝5，AD＝5，在△ADN中，由余弦定理得cos∠AND＝ND2＋AN2－AD22ND·AN＝3010.故异面直线BM与AN所成角的余弦值为3010.答案3010三、解答题9.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.解(1)AM，CN不是异面直线.理由：连接MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綉C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.(2)直线D1B和CC1是异面直线.理由：因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，所以D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾.所以假设不成立，即D1B和CC1是异面直线.10.(2017·成都月考)如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC＝π2，AB＝2，AC＝23，PA＝2.求：(1)三棱锥P－ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.解(1)S△ABC＝12×2×23＝23，三棱锥P－ABC的体积为V＝13S△ABC·PA＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).在△ADE中，DE＝2，AE＝2，AD＝2，cos∠ADE＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为34.11.以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.答案B12.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直.因此l1与l4的位置关系不能确定.答案D13.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________.解析取DE的中点H，连接HF，GH.由题设，HF綉12AD.∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角).在△GHF中，可求HF＝2，GF＝GH＝6，∴cos∠HFG＝2＋6－62×2×6＝36.答案3614.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.(1)求四棱锥O－ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.解(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，所以四棱锥O－ABCD的体积V＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE.又M为OA中点，∴ME∥OC，则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝2，EM＝3，MD＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，∴△DEM为直角三角形，∴tan∠EMD＝DEEM＝23＝63.∴异面直线OC与MD所成角的正切值为63.