【新高考复习】第7讲　立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

第7讲立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直一、选择题1.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α相交解析∵n＝－2a，∴a与平面α的法向量平行，∴l⊥α.答案B2.若AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内解析∵AB→＝λCD→＋μCE→，∴AB→，CD→，CE→共面.则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.答案D3.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是()A.P(2，3，3)B.P(－2，0，1)C.P(－4，4，0)D.P(3，－3，4)解析逐一验证法，对于选项A，MP→＝(1，4，1)，∴MP→·n＝6－12＋6＝0，∴MP→⊥n，∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.答案A4.(2017·西安月考)如图，F是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有()A.B1E＝EBB.B1E＝2EBC.B1E＝12EBD.E与B重合解析分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，D1F→＝(0，1，－2)，DE→＝(2，2，z)，∵D1F→·DE→＝0×2＋1×2－2z＝0，∴z＝1，∴B1E＝EB.答案A5.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上说法正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析A1M→＝A1A→＋AM→＝A1A→＋12AB→，D1P→＝D1D→＋DP→＝A1A→＋12AB→，∴A1M→∥D1P→，所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1.①③④正确.答案C二、填空题6.(2017·武汉调研)已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________.解析设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，由m·AB→＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z，由m·AC→＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1，∴m＝(1，1，1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.答案α∥β7.(2016·青岛模拟)已知AB→＝(1，5，－2)，BC→＝(3，1，z)，若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________.解析由条件得3＋5－2z＝0，x－1＋5y＋6＝0，3（x－1）＋y－3z＝0，解得x＝407，y＝－157，z＝4，∴x＋y＝407－157＝257.答案2578.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB→＝(2，－1，－4)，AD→＝(4，2，0)，AP→＝(－1，2，－1).对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP→是平面ABCD的法向量；④AP→∥BD→.其中正确的序号是________.解析∵AB→·AP→＝0，AD→·AP→＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确.又AB→与AD→不平行，∴AP→是平面ABCD的法向量，则③正确.由于BD→＝AD→－AB→＝(2，3，4)，AP→＝(－1，2，－1)，∴BD→与AP→不平行，故④错误.答案①②③三、解答题9.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP，DC分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则DQ→＝(1，1，0)，DC→＝(0，0，1)，PQ→＝(1，－1，0).∴PQ→·DQ→＝0，PQ→·DC→＝0.即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，∴PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.10.(2017·郑州调研)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝2，E为PD上一点，PE＝2ED.(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由.(1)证明∵PA＝AD＝1，PD＝2，∴PA2＋AD2＝PD2，即PA⊥AD.又PA⊥CD，AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD.(2)解以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，E0，23，13，AC→＝(1，1，0)，AE→＝0，23，13.设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC→＝0，n·AE→＝0，即x＋y＝0，2y＋z＝0，令y＝1，则n＝(－1，1，－2).假设侧棱PC上存在一点F，且CF→＝λCP→(0≤λ≤1)，使得BF∥平面AEC，则BF→·n＝0.又∵BF→＝BC→＋CF→＝(0，1，0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)，∴BF→·n＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝12，∴存在点F，使得BF∥平面AEC，且F为PC的中点.11.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为()A.(1，1，1)B.23，23，1C.22，22，1D.24，24，1解析设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，又O是正方形ABCD对角线交点，∴M为线段EF的中点.在空间坐标系中，E(0，0，1)，F(2，2，1).由中点坐标公式，知点M的坐标22，22，1.答案C12.(2017·成都调研)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.不能确定解析分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，∵A1M＝AN＝23a，则Ma，23a，a3，N2a3，2a3，a，∴MN→＝－a3，0，23a.又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，∴C1D1→＝(0，a，0)，∴MN→·C1D1→＝0，∴MN→⊥C1D1→.∵C1D1→是平面BB1C1C的法向量，且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.答案B13.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________.解析以D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1－y)，B(1，1，1)，∴B1E→＝(x－1，0，1)，∴FB→＝(1，1，y)，由于B1E⊥平面ABF，所以FB→·B1E→＝(1，1，y)·(x－1，0，1)＝0⇒x＋y＝1.答案114.(2014·湖北卷改编)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0＜λ＜2).(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ⊥平面PQMN？若存在，求出实数λ的值；若不存在，说明理由.(1)证明以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)，M(2，1，2)，N(1，0，2)，BC1→＝(－2，0，2)，FP→＝(－1，0，λ)，FE→＝(1，1，0)，MN→＝(－1，－1，0)，NP→＝(－1，0，λ－2).当λ＝1时，FP→＝(－1，0，1)，因为BC1→＝(－2，0，2)，所以BC1→＝2FP→，即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)解设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由FE→·n＝0，FP→·n＝0，可得x＋y＝0，－x＋λz＝0.于是可取n＝(λ，－λ，1).同理可得平面PQMN的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1).则m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22.故存在λ＝1±22，使平面EFPQ⊥平面PQMN.