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第5讲直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.(2015·浙江卷)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β()A.若l⊥β，则α⊥βB.若α⊥β，则l⊥mC.若l∥β，则α∥βD.若α∥β，则l∥m解析由面面垂直的判定定理，可知A选项正确；B选项中，l与m可能平行；C选项中，α与β可能相交；D选项中，l与m可能异面.答案A2.(2017·深圳四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为()A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB.过点P垂直于直线l的直线在平面α内C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β解析由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确.过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确.答案B3.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC解析因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确.在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，∴BC⊥平面PAE，DF∥BC，则DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确.答案D4.(2017·西安调研)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l∥α，l⊥β，则α⊥βC.若α⊥β，l⊥α，则l∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析A中，α∥β或α与β相交，不正确.B中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，B正确.C中，l∥β或l⊂β，C不正确.D中，l与β的位置关系不确定.答案B5.(2017·天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④解析由题意知，BD⊥平面ADC，且AC⊂平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错.答案B二、填空题6.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________.解析∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形.由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形.答案47.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).解析由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)8.(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).解析对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误.对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确.对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点.又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确.对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等.因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确.答案②③④三、解答题9.(2017·青岛质检)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积.(1)证明由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.又G为AD的中点，所以CG⊥AD.同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BCG.又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.(2)解在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图由平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BDC＝BC，AO⊂平面ABC，知AO⊥平面BDC.又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝3，所以VD－BCG＝VG－BCD＝13S△DBC·h＝13×12BD·BC·sin120°·32＝12.10.(2016·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由.(1)证明因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)证明因为AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF，且EF⊂平面CEF，所以PA∥平面CEF.11.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.则下列说法正确的是()A.若m⊥n，n∥α，则m⊥αB.若m∥β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误.答案C12.(2017·贵阳模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心D.O是△AEF的重心解析由题意可知PA，PE，PF两两垂直，所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心.答案A13.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).解析由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确.答案①④14.(2016·四川卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝12AD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由.(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.(1)解取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下：因为AD∥BC，BC＝12AD.所以BC∥AM，且BC＝AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.又AB⊂平面PAB.CM⊄平面PAB.所以CM∥平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.因为AD∥BC，BC＝12AD，所以直线AB与CD相交，所以PA⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD，从而PA⊥BD.因为AD∥BC，BC＝12AD，M为AD的中点，连接BM，所以BC∥MD，且BC＝MD.所以四边形BCDM是平行四边形，所以BM＝CD＝12AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.