【新高考复习】第4讲　数列求和

第4讲数列求和一、选择题1.等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列Snn的前10项的和为()A.120B.70C.75D.100解析因为Snn＝n＋2，所以Snn的前10项和为10×3＋10×92＝75.答案C2.数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝()A.9B.8C.17D.16解析S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.答案A3.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于()A.200B.－200C.400D.－400解析S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.答案B4.(2017·高安中学模拟)已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于()A.5B.6C.7D.16解析根据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.故选C.答案C5.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2016＝()A.22016－1B.3·21008－3C.3·21008－1D.3·21007－2解析a1＝1，a2＝2a1＝2，又an＋2·an＋1an＋1·an＝2n＋12n＝2.∴an＋2an＝2.∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，∴S2016＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2015＋a2016＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2015)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2016)＝1－210081－2＋2（1－21008）1－2＝3·21008－3.故选B.答案B二、填空题6.(2017·保定模拟)有穷数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为________.解析由题意知所求数列的通项为1－2n1－2＝2n－1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为2（1－2n）1－2－n＝2n＋1－2－n.答案2n＋1－2－n7.(2016·宝鸡模拟)数列{an}满足an＋an＋1＝12(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________.解析由an＋an＋1＝12＝an＋1＋an＋2，∴an＋2＝an，则a1＝a3＝a5＝…＝a21，a2＝a4＝a6＝…＝a20，∴S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21)＝1＋10×12＝6.答案68.(2017·安阳二模)已知数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a2，则|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|＝________.解析由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4，∴bn＝(－3)×(－4)n－1，∴|bn|＝3×4n－1，即{|bn|}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝3（1－4n）1－4＝4n－1.答案4n－1三、解答题9.(2016·北京卷)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.解(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由b2＝b1q＝3，b3＝b1q2＝9得b1＝1，q＝3.∴bn＝b1qn－1＝3n－1，又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，…).(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.从而数列{cn}的前n项和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝n（1＋2n－1）2＋1－3n1－3＝n2＋3n－12.10.(2017·贵阳一模)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋12an＝1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log13(1－Sn＋1)(n∈N*)，令Tn＝1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn＋1，求Tn.解(1)当n＝1时，a1＝S1，由S1＋12a1＝1，得a1＝23，当n≥2时，Sn＝1－12an，Sn－1＝1－12an－1，则Sn－Sn－1＝12(an－1－an)，即an＝12(an－1－an)，所以an＝13an－1(n≥2).故数列{an}是以23为首项，13为公比的等比数列.故an＝23·13n－1＝2·13n(n∈N*).(2)因为1－Sn＝12an＝13n.所以bn＝log13(1－Sn＋1)＝log1313n＋1＝n＋1，因为1bnbn＋1＝1（n＋1）（n＋2）＝1n＋1－1n＋2，所以Tn＝1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn＋1＝12－13＋13－14＋…＋1n＋1－1n＋2＝12－1n＋2＝n2（2n＋2）.11.(2016·郑州模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝1（n＋1）n＋nn＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则在数列S1，S2，…，S2016中，有理数项的项数为()A.42B.43C.44D.45解析an＝1（n＋1）n＋nn＋1＝（n＋1）n－nn＋1[（n＋1）n＋nn＋1][（n＋1）n－nn＋1]＝nn－n＋1n＋1.所以Sn＝1－22＋22－33＋33－44＋…＋nn－n＋1n＋1＝1－n＋1n＋1，因此S3，S8，S15…为有理项，又下标3，8，15，…的通项公式为n2－1(n≥2)，所以n2－1≤2016，且n≥2，所以2≤n≤44，所以有理项的项数为43.答案B12.(2017·济南模拟)在数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于()A.76B.78C.80D.82解析因为an＋1＋(－1)nan＝2n－1，所以a2－a1＝1，a3＋a2＝3，a4－a3＝5，a5＋a4＝7，a6－a5＝9，a7＋a6＝11，…，a11＋a10＝19，a12－a11＝21，所以a1＋a3＝2，a4＋a2＝8，…，a12＋a10＝40，所以从第一项开始，依次取两个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取两个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，以上式相加可得，S12＝a1＋a2＋a3＋…＋a12＝(a1＋a3)＋(a5＋a7)＋(a9＋a11)＋(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋(a10＋a12)＝3×2＋8＋24＋40＝78.答案B13.设f(x)＝4x4x＋2，若S＝f12015＋f22015＋…＋f20142015，则S＝________.解析∵f(x)＝4x4x＋2，∴f(1－x)＝41－x41－x＋2＝22＋4x，∴f(x)＋f(1－x)＝4x4x＋2＋22＋4x＝1.S＝f12015＋f22015＋…＋f20142015，①S＝f20142015＋f20132015＋…＋f12015，②①＋②得，2S＝f12015＋f20142015＋f22015＋f20132015＋…＋f20142015＋f12015＝2014，∴S＝20142＝1007.答案100714.(2015·山东卷)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列1an·an＋1的前n项和为n2n＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)设数列{an}的公差为d，令n＝1，得1a1a2＝13，所以a1a2＝3.①令n＝2，得1a1a2＋1a2a3＝25，所以a2a3＝15.②解①②得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.(2)由(1)知bn＝2n·22n－1＝n·4n，所以Tn＝1×41＋2×42＋…＋n×4n，所以4Tn＝1×42＋2×43＋…＋n×4n＋1，两式相减，得－3Tn＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝4（1－4n）1－4－n·4n＋1＝1－3n3×4n＋1－43.所以Tn＝3n－19×4n＋1＋49＝4＋（3n－1）4n＋19.