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第3讲变量间的相关关系与统计案例一、选择题1.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()A.模型1的相关指数R2为0.98B.模型2的相关指数R2为0.80C.模型3的相关指数R2为0.50D.模型4的相关指数R2为0.25解析相关指数R2越大，拟合效果越好，因此模型1拟合效果最好.答案A2.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.y^＝0.4x＋2.3B.y^＝2x－2.4C.y^＝－2x＋9.5D.y^＝－0.3x＋4.4解析因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，3.5)的坐标代入检验，A满足.答案A3.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是()A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(x，y)C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg解析∵0.850，∴y与x正相关，∴A正确；∵回归直线经过样本点的中心(x，y)，∴B正确；∵Δy＝0.85(x＋1)－85.71－(0.85x－85.71)＝0.85，∴C正确.答案D4.通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）算得，K2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8.附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解析根据独立性检验的定义，由K2≈7.86.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.答案A5.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝0.76，a^＝y－b^x，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元解析由题意知，x＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x＝15时，y^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元).答案B二、填空题6.若8名学生的身高和体重数据如下表：编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg48575464614359第3名学生的体重漏填，但线性回归方程是y^＝0.849x－85.712，则第3名学生的体重估计为________.解析设第3名学生的体重为a，则18(48＋57＋a＋54＋64＋61＋43＋59)＝0.849×18(165＋165＋157＋170＋175＋165＋155＋170)－85.712.解之得a≈50.答案507.(2017·广州模拟)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表如下：理科文科总计男131023女72027总计203050已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为________.解析由K2＝4.844＞3.841.故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%.答案5%8.某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1用电量(度)24343864由表中数据得回归直线方程y^＝b^x＋a^中的b^＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量约为________度.解析根据题意知x＝18＋13＋10＋（－1）4＝10，y＝24＋34＋38＋644＝40，因为回归直线过样本点的中心，所以a^＝40－(－2)×10＝60，所以当x＝－4时，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量约为68度.答案68三、解答题9.(2017·郑州调研)某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2009201020112012201320142015年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b^＝∑ni＝1（ti－t）（yi－y）∑ni＝1（ti－t－）2，a^＝y－－b^t－.解(1)由所给数据计算得t－＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y－＝17×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑7i＝1(ti－t)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，∑7i＝1(ti－t)(yi－y)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b^＝∑7i＝1（ti－t）（yi－y）∑7i＝1（ti－t）2＝1428＝0.5，a^＝y－b^t＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为y^＝0.5t＋2.3.(2)由(1)知，b^＝0.50，故2009至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年约增加0.5千元.将2017年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.10.(2017·西安质检)某省会城市地铁将于2017年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：月收入(单位：百元)[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75]赞成定价者人数123534认为价格偏高者人数4812521(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数总计认为价格偏高者赞成定价者总计附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）P(K2≥k0)0.050.01k03.8416.635解(1)“赞成定价者”的月平均收入为x1＝20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×41＋2＋3＋5＋3＋4≈50.56.“认为价格偏高者”的月平均收入为x2＝20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×14＋8＋12＋5＋2＋1＝38.75，∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝11.81(百元).(2)根据条件可得2×2列联表如下：月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数总计认为价格偏高者32932赞成定价者71118总计104050K2＝50×（3×11－7×29）210×40×18×32≈6.276.635，∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.11.某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价x(单位：元)和销售量y(单位：件)之间的四组数据如下表：售价x44.55.56销售量y1211109为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程为y^＝－1.4x＋a^，那么方程中的a^值为()A.17B.17.5C.18D.18.5解析x＝4＋4.5＋5.5＋64＝5，y＝12＋11＋10＋94＝10.5，∵回归直线过样本点的中心，∴a^＝10.5＋1.4×5＝17.5.答案B12.根据如下样本数据x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y^＝b^x＋a^，则()A.a^0，b^0B.a^0，b^0C.a^0，b^0D.a^0，b^0解析作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y^＝b^x＋a^的斜率b^0，当x＝0时，y^＝a^0.故a^0，b^0.答案B13.(2017·赣中南五校联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：(单位：人)几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050根据上述数据，推断视觉和空间想象能力与性别有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________.附表：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析由列联表计算K2的观测值k0＝50（22×12－8×8）230×20×20×30≈5.5565.024.∴推断犯错误的概率不超过0.025.答案0.02514.(2015·全国Ⅰ卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中wi＝xi，w＝18∑8i＝1wi.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝∑ni＝1（ui－u）（vi－v）∑ni＝1（ui－u）2，α^＝v－β^u解(1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程，由于d^＝∑8i＝1（wi－w）·（yi－y）∑8i＝1（wi－w）2＝108.81.6＝68，c^＝y－d^w＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y^＝100.6＋6