【新高考复习】第2讲　直接证明与间接证明

第2讲直接证明与间接证明一、选择题1.若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是()A.lg(1＋a2)0B.a2＋b2≥2(a－b－1)C.a2＋3ab2b2D.aba＋1b＋1解析在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立.答案B2.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A.三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°答案B3.已知m1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是()A.abB.abC.a＝bD.a，b大小不定解析∵a＝m＋1－m＝1m＋1＋m，b＝m－m－1＝1m＋m－1.而m＋1＋mm＋m－1＞0(m＞1)，∴1m＋1＋m1m＋m－1，即ab.答案B4.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac＜3a”索的因应是()A.a－b＞0B.a－c＞0C.(a－b)(a－c)＞0D.(a－b)(a－c)＜0解析由题意知b2－ac＜3a⇐b2－ac＜3a2⇐(a＋c)2－ac＜3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇐－2a2＋ac＋c2＜0⇐2a2－ac－c2＞0⇐(a－c)(2a＋c)＞0⇐(a－c)(a－b)＞0.答案C5.①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是()A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确；②的假设错误D.①的假设错误；②的假设正确解析反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确.答案D二、填空题6.6＋7与22＋5的大小关系为________.解析要比较6＋7与22＋5的大小，只需比较(6＋7)2与(22＋5)2的大小，只需比较6＋7＋242与8＋5＋410的大小，只需比较42与210的大小，只需比较42与40的大小，∵4240，∴6＋722＋5.答案6＋722＋57.用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是__________________.答案都不能被5整除8.下列条件：①ab0，②ab0，③a0，b0，④a0，b0，其中能使ba＋ab≥2成立的条件的序号是________.解析要使ba＋ab≥2，只需ba0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使ba＋ab≥2成立.答案①③④三、解答题9.若a，b，c是不全相等的正数，求证：lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lga＋lgb＋lgc.证明∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b2≥ab＞0，b＋c2≥bc＞0，a＋c2≥ac＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立.∴a＋b2·b＋c2·c＋a2＞abc成立.上式两边同时取常用对数，得lga＋b2·b＋c2·c＋a2＞lgabc，∴lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lga＋lgb＋lgc.10.设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列{Sn}是等比数列，则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列.(2)解当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾.综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列.11.已知函数f(x)＝12x，a，b是正实数，A＝fa＋b2，B＝f(ab)，C＝f2aba＋b，则A，B，C的大小关系为()A.A≤B≤CB.A≤C≤BC.B≤C≤AD.C≤B≤A解析∵a＋b2≥ab≥2aba＋b，又f(x)＝12x在R上是减函数，∴fa＋b2≤f(ab)≤f2aba＋b.答案A12.设a，b，c均为正实数，则三个数a＋1b，b＋1c，c＋1a()A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2解析∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案D13.如果aa＋bbab＋ba，则a，b应满足的条件是________.解析∵aa＋bb－(ab＋ba)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b).∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(a－b)2(a＋b)0.∴aa＋bbab＋ba成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.答案a≥0，b≥0且a≠b14.(2015·安徽卷)设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{xn}的通项公式；(2)记Tn＝x21x23…x22n－1，证明：Tn≥14n.(1)解y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1).令y＝0，解得切线与x轴的交点的横坐标xn＝1－1n＋1＝nn＋1，所以数列{xn}的通项公式xn＝nn＋1.(2)证明由题设和(1)中的计算结果知，Tn＝x21x23…x22n－1＝122342…2n－12n2.当n＝1时，T1＝14.当n≥2时，因为x22n－1＝2n－12n2＝（2n－1）2（2n）2（2n－1）2－1（2n）2＝2n－22n＝n－1n，所以Tn122×12×23×…×n－1n＝14n.综上可得，对任意的n∈N*，均有Tn≥14n.