【新高考复习】第5讲　数系的扩充与复数的引入

第5讲数系的扩充与复数的引入一、选择题1.(2015·福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A.3，－2B.3，2C.3，－3D.－1，4解析(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，∴a＝3，b＝－2，故选A.答案A2.(2016·四川卷)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为()A.－15x4B.15x4C.－20ix4D.20ix4解析展开式中含x4的项为第三项，∴T3＝C26·x4·i2＝－15x4.答案A3.(2016·山东卷)若复数z＝21－i，其中i为虚数单位，则z＝()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i解析∵z＝21－i＝2（1＋i）（1－i）（1＋i）＝1＋i，∴z＝1－i，故选B.答案B4.(2015·安徽卷)设i为虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i解析(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝3＋i.答案C5.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝()A.－3B.－2C.2D.3解析因为(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，所以a－2＝2a＋1，解得a＝－3，故选A.答案A6.复数1－i2－i对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析复数1－i2－i＝（1－i）（2＋i）（2－i）（2＋i）＝35－15i，∴其对应的点为35，－15，在第四象限，故选D.答案D7.(2017·北京东城综合测试)若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为()A.－1B.0C.1D.2解析因为复数(m2－m)＋mi为纯虚数，所以m2－m＝0，m≠0，解得m＝1，故选C.答案C8.已知复数z＝1＋2i2－i(i为虚数单位)，则z的虚部为()A.－1B.0C.1D.i解析∵z＝1＋2i2－i＝（1＋2i）（2＋i）（2－i）（2＋i）＝5i5＝i，故虚部为1.答案C9.设z是复数，则下列命题中的假命题是()A.若z2≥0，则z是实数B.若z2＜0，则z是虚数C.若z是虚数，则z2≥0D.若z是纯虚数，则z2＜0解析举反例说明，若z＝i，则z2＝－1＜0，故选C.答案C10.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A.若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B.若z1＝z2，则z1＝z2C.若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D.若|z1|＝|z2|，则z21＝z22解析A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故z1＝z2，成立.B中，z1＝z2，则z1＝z2成立.C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z1z1＝z2z2，C正确.D不一定成立，如z1＝1＋3i，z2＝2，则|z1|＝2＝|z2|，但z21＝－2＋23i，z22＝4，z21≠z22.答案D11.(2015·全国Ⅱ卷)若a为实数，且2＋ai1＋i＝3＋i，则a等于()A.－4B.－3C.3D.4解析由2＋ai1＋i＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实数，所以a＝4.故选D.答案D12.(2017·河北省三市联考)若复数z＝a＋3ii＋a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是()A.－4B.－3C.1D.2解析因为z＝a＋3ii＋a＝(3＋a)－ai在复平面上对应的点在第二象限，所以a－3，选A.答案A二、填空题13.(2016·江苏卷)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________.解析(1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5i，所以z的实部为5.答案514.(2015·四川卷)设i是虚数单位，则复数i－1i＝________.解析i－1i＝i－ii2＝2i.答案2i15.(2016·天津卷)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则ab的值为________.解析由(1＋i)(1－bi)＝a，得1＋b＋i(1－b)＝a，则1＋b＝a，1－b＝0，解得a＝2，b＝1所以ab＝2.答案216.若3＋bi1－i＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.解析3＋bi1－i＝（3＋bi）（1＋i）2＝12[(3－b)＋(3＋b)i]＝3－b2＋3＋b2i.∴a＝3－b2，b＝3＋b2，解得a＝0，b＝3.∴a＋b＝3.答案317.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i的点是()A.EB.FC.GD.H解析由题图知复数z＝3＋i，∴z1＋i＝3＋i1＋i＝（3＋i）（1－i）（1＋i）（1－i）＝4－2i2＝2－i.∴表示复数z1＋i的点为H.答案D18.z是z的共轭复数，若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，则z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i解析法一设z＝a＋bi，a，b为实数，则z＝a－bi.∵z＋z＝2a＝2，∴a＝1.又(z－z)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.法二∵(z－z)i＝2，∴z－z＝2i＝－2i.又z＋z＝2，∴(z－z)＋(z＋z)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.答案D19.(2014·全国Ⅰ卷)设z＝11＋i＋i，则|z|＝()A.12B.22C.32D.2解析∵z＝11＋i＋i＝1－i（1＋i）（1－i）＋i＝1－i2＋i＝12＋12i，∴|z|＝122＋122＝22，故选B.答案B20.(2017·湖南师大附中月考)已知复数z＝(cosθ－isinθ)·(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是()A.θ＝π4B.θ＝π2C.θ＝3π4D.θ＝5π4解析因为z＝(cosθ＋sinθ)＋(cosθ－sinθ)i，所以当θ＝3π4时，z＝－2i为纯虚数，当z为纯虚数时，θ＝kπ－π4.故选C.答案C21.(2017·哈尔滨六中期中)若复数z满足i·z＝－12(1＋i)，则z的共轭复数的虚部是()A.－12iB.12iC.－12D.12解析i·z＝－12(1＋i)⇒z＝－12（1＋i）i＝－12（1＋i）·ii·i＝12(－1＋i)，则z的共轭复数z＝12(－1－i)，其虚部是－12.答案C22.(2017·山西高三四校联考)i是虚数单位，若2＋i1＋i＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是()A.－2B.－1C.0D.12解析∵（2＋i）（1－i）（1＋i）（1－i）＝3－i2＝32－12i＝a＋bi，∴a＝32，b＝－12，∴lg(a＋b)＝lg1＝0.答案C23.下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2;p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i;p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()A.p2，p3B.p1，p2C.p2，p4D.p3，p4解析∵z＝2－1＋i＝－1－i，∴|z|＝（－1）2＋（－1）2＝2，∴p1是假命题；∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；∵z＝－1＋i，∴p3是假命题；∵z的虚部为－1，∴p4是真命题.其中的真命题共有2个：p2，p4.答案C24.(2017·广州综合测试)若1－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一个解，则p＋q＝()A.－3B.－1C.1D.3解析依题意得(1－i)2＋2p(1－i)＋q＝(2p＋q)－2(p＋1)i＝0，即2p＋q＝0，p＋1＝0，解得p＝－1，q＝2，所以p＋q＝1，故选C.答案C25.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________.解析z＝(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)在第三象限内，故3m－20且m－10，∴m23.答案－∞，2326.设f(n)＝1＋i1－in＋1－i1＋in(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为________.解析f(n)＝1＋i1－in＋1－i1＋in＝in＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案327.已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝3，则yx的最大值为________.解析∵|z－2|＝（x－2）2＋y2＝3，∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知yxmax＝31＝3.答案328.定义运算＝ad－bc.若复数x＝1－i1＋i，y＝，则y＝________.解析因为x＝1－i1＋i＝（1－i）22＝－i.答案－2