【新高考复习】第6讲　离散型随机变量的均值与方差

第6讲离散型随机变量的均值与方差一、选择题1.已知离散型随机变量X的概率分布列为X135P0.5m0.2则其方差D(X)＝()A.1B.0.6C.2.44D.2.4解析由0.5＋m＋0.2＝1得m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.答案C2.(2017·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A.100B.200C.300D.400解析设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B(1000，0.1)，且X＝2ξ，∴E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝2×1000×0.1＝200.答案B3.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为()A.n＝4，p＝0.6B.n＝6，p＝0.4C.n＝8，p＝0.3D.n＝24，p＝0.1解析由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.故选B.答案B4.已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是()A.6，2.4B.2，2.4C.2，5.6D.6，5.6解析由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案B5.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是()A.4B.4.5C.4.75D.5解析由题意知，X可以取3，4，5，P(X＝3)＝1C35＝110，P(X＝4)＝C23C35＝310，P(X＝5)＝C24C35＝610＝35，所以E(X)＝3×110＋4×310＋5×35＝4.5.答案B二、填空题6.设X为随机变量，X～Bn，13，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等于________.解析由X～Bn，13，E(X)＝2，得np＝13n＝2，∴n＝6，则P(X＝2)＝C261321－134＝80243.答案802437.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.解析设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则15＋a＋b＝1，a＋2b＝1，解得a＝35，b＝15，所以D(ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.答案258.(2017·合肥模拟)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是________元.解析由题意知a＋2a＋4a＝1，∴a＝17，∴获得一、二、三等奖的概率分别为17，27，47，∴所获奖金的期望是E(X)＝17×7000＋27×5600＋47×4200＝5000元.答案5000三、解答题9.(2017·成都诊断)据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100人120人y人社会人士600人x人z人已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流.求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望.解(1)因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，所以120＋x3600＝0.05，解得x＝60.所以持“无所谓”态度的人数为3600－2100－120－600－60＝720，所以应在持“无所谓”态度的人中抽取720×3603600＝72人.(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人，所以在所抽取的6人中，在校学生为120180×6＝4人，社会人士为60180×6＝2人，于是第一组在校学生人数ξ＝1，2，3，P(ξ＝1)＝C14C22C36＝15，P(ξ＝2)＝C24C12C36＝35，P(ξ＝3)＝C34C02C36＝15，所以ξ的分布列为ξ123P153515所以E(ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.10.(2017·郑州一模)在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名.(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望.解(1)设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，B表示事件：“媒体乙选中3号歌手”，C表示事件：“媒体丙选中3号歌手”，则P(A)＝C14C25＝25，P(B)＝C24C35＝35，∴媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率为P(AB)＝25×1－35＝425.(2)P(C)＝C25C36＝12，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝P(ABC)＝1－25×1－35×1－12＝325.P(X＝1)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝25×1－35×1－12＋1－25×35×1－12＋1－25×1－35×12＝1950，P(X＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝25×35×1－12＋25×1－35×12＋1－25×35×12＝1950，P(X＝3)＝P(ABC)＝25×35×12＝325，∴X的分布列为X0123P32519501950325∴E(X)＝0×325＋1×1950＋2×1950＋3×325＝32.11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝()A.85B.65C.45D.25解析由题意，X～B5，3m＋3，又E(X)＝5×3m＋3＝3，∴m＝2，则X～B5，35，故D(X)＝5×35×1－35＝65.答案B12.袋中装有大小完全相同，标号分别为1，2，3，…，9的九个球.现从袋中随机取出3个球.设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值E(ξ)为()A.16B.13C.12D.23解析依题意得，ξ的所有可能取值是0，1，2.且P(ξ＝0)＝C37C39＝512，P(ξ＝1)＝C27·A22C39＝12，P(ξ＝2)＝C17C39＝112，因此E(ξ)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.答案D13.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：x123p(ξ＝x)？！？请小牛同学计算ξ的均值.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.解析设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则E(ξ)＝1×x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.答案214.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X8080≤X≤120X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解(1)依题意，p1＝P(40X80)＝1050＝0.2，p2＝P(80≤x≤120)＝3550＝0.7，p3＝P(X120)＝550＝0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C04(1－p3)4＋C14(1－p3)3p3＝9104＋4×9103×110＝0.9477.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元).①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形.依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40X80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：Y420010000P0.20.8所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.③安装3台发电机的情形.依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40X80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X120)＝p3＝0.1.因此得Y的分布列如下：Y3400920015000P0.20.70.1所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.