第3讲二项式定理一、选择题1.(2016·四川卷)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4解析(x+i)6的展开式的通项为Tr+1=Cr6x6-rir(r=0,1,2,…,6),令r=2,得含x4的项为C26x4i2=-15x4,故选A.答案A2.(2017·漳州模拟)在x2-13xn的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为()A.-7B.7C.-28D.28解析依题意有n2+1=5,∴n=8.二项式x2-13x8的展开式的通项公式Tk+1=(-1)k128-kCk8x8-43k,令8-43k=0得k=6,故常数项为T7=(-1)6122C68=7.答案B3.(2015·湖北卷)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.29B.210C.211D.212解析由题意,C3n=C7n,解得n=10.则奇数项的二项式系数和为2n-1=29.故选A.答案A4.(2017·郑州质检)二项式ax+366的展开式的第二项的系为-3,则-2ax2dx的值为()A.53B.73C.3D.113解析∵Tr+1=Cr6(ax)6-r36r=Cr6a6-r·36rx6-r,∴第二项的系数为C16a5·36=-3,∴a=-1,∴-2ax2dx=-2-1x2dx=13x3|-1-2=-13--83=73.答案B5.(2016·海口调研)若(x2-a)x+1x10的展开式中x6的系数为30,则a等于()A.13B.12C.1D.2解析依题意,注意到x+1x10的展开式的通项公式是Tr+1=Cr10·x10-r·1xr=Cr10·x10-2r,x+1x10的展开式中含x4(当r=3时)、x6(当r=2时)项的系数分别为C310、C210,因此由题意得C310-aC210=120-45a=30,由此解得a=2,选D.答案D6.已知C0n+2C1n+22C2n+23C3n+…+2nCnn=729,则C1n+C2n+C3n+…+Cnn等于()A.63B.64C.31D.32解析逆用二项式定理得C0n+2C1n+22C2n+23C3n+…+2nCnn=(1+2)n=3n=729,即3n=36,所以n=6,所以C1n+C2n+C3n+…+Cnn=26-C0n=64-1=63.故选A.答案A7.若(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+an(1-x)n,则a0-a1+a2-…+(-1)nan等于()A.34(3n-1)B.34(3n-2)C.32(3n-2)D.32(3n-1)解析在展开式中,令x=2得3+32+33+…+3n=a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan,即a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=3(1-3n)1-3=32(3n-1).答案D8.(2017·九江模拟)(x2-x+1)10展开式中x3项的系数为()A.-210B.210C.30D.-30解析(x2-x+1)10=[(x2-x)+1]10的展开式的通项公式为Tr+1=Cr10(x2-x)10-r,对于(x2-x)10-r的通项公式为Tr′+1=(-1)r′Cr′10-rx20-2r-3r′.令20-2r-r′=3,根据0≤r′≤10-r,r,r′∈N,解得r=8,r′=1或r=7,r′=3,∴(x2-x+1)10展开式中x3项的系数为C810C12(-1)+C710C33(-1)=-90-120=-210.答案A二、填空题9.(2016·北京卷)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为________(用数字作答).解析(1-2x)6的展开式的通项公式为Tk+1=Ck6(-2x)k=Ck6(-2)k·xk,令k=2得x2的系数为C26(-2)2=60.答案6010.(2016·山东卷)若ax2+1x5的展开式中x5的系数是-80,则实数a=________(用数字作答).解析ax2+1x5的展开式的通项Tr+1=Cr5(ax2)5-r·x-r2=Cr5a5-r·x10-5r2,令10-52r=5,得r=2,所以C25a3=-80,解得a=-2.答案-211.若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=________(用数字作答).解析f(x)=x5=(1+x-1)5,它的通项为Tk+1=Ck5(1+x)5-k·(-1)k,T3=C25(1+x)3(-1)2=10(1+x)3,∴a3=10.答案1012.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=________(用数字作答).解析令x=1,得a0+a1+a2+…+a12=36,令x=-1,得a0-a1+a2-…+a12=1,∴a0+a2+a4+…+a12=36+12.令x=0,得a0=1,∴a2+a4+…+a12=36+12-1=364.答案36413.(2017·青岛模拟)已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈N*)是一个单调递增数列,则k的最大值是()A.5B.6C.7D.8解析由二项式定理知an=Cn-110(n=1,2,3,…,n).又(x+1)10展开式中二项式系数最大项是第6项.∴a6=C510,则k的最大值为6.答案B14.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210解析在(1+x)6的展开式中,xm的系数为Cm6,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为Cn4,故f(m,n)=Cm6·Cn4.所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C36C04+C26C14+C16C24+C06C34=120.答案C15.(2017·合肥模拟)已知二项式x+3xn的展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则展开式中x的系数为________.解析由已知得4n2n=64,所以n=6.展开式的通项为Tr+1=3rCr6x3-r,令3-r=1得r=2,所以x的系数为9C26=135.答案13516.若(2+x+x2)1-1x3的展开式中的常数项为a,则0a(3x2-1)dx=________.解析∵1-1x3=1-3x+3x2+1x3,∴(2+x+x2)·1-1x3的展开式中的常数项为a=2×1+1×(-3)+1×3=2.故0a(3x2-1)dx=(x3-x)|20=6.答案6