【新高考复习】第3讲　三角函数的图象与性质

第3讲三角函数的图象与性质一、选择题1.在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为()A.①②③B.①③④C.②④D.①③解析①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；②由图象知y＝|cosx|的最小正周期为π；③y＝cos2x＋π6的最小正周期T＝2π2＝π；④y＝tan2x－π4的最小正周期T＝π2，因此选A.答案A2.(2017·石家庄模拟)函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间是()A.kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)B.kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)C.kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)D.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)解析由kπ－π2＜2x－π3＜kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ2－π12＜x＜kπ2＋5π12(k∈Z)，所以函数y＝tan2x－π3的单调递增区间是kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)，故选B.答案B3.(2017·成都诊断)函数y＝cos2x－2sinx的最大值与最小值分别为()A.3，－1B.3，－2C.2，－1D.2，－2解析y＝cos2x－2sinx＝1－sin2x－2sinx＝－sin2x－2sinx＋1，令t＝sinx，则t∈[－1，1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以ymax＝2，ymin＝－2.答案D4.(2016·山东卷)函数f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)的最小正周期是()A.π2B.πC.32πD.2π解析f(x)＝4sinx＋π6cosx＋π6＝2sin2x＋π3，∴f(x)的最小正周期T＝π.答案B5.(2017·安徽江南十校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x)≤fπ3成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是()A.－2π3，0B.－π3，0C.2π3，0D.5π3，0解析由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f(x)≤fπ3恒成立，所以f(x)max＝fπ3，即12×π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，由|φ|π2，得φ＝π3，故f(x)＝sin12x＋π3.令12x＋π3＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－2π3(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为2kπ－2π3，0(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的对称中心为－2π3，0.答案A二、填空题6.(2017·昆明调研)若函数f(x)＝cos2x＋φ－π3(0φπ)是奇函数，则φ＝________.解析因为f(x)为奇函数，所以φ－π3＝π2＋kπ，φ＝5π6＋kπ，k∈Z.又因为0φπ，故φ＝5π6.答案5π67.(2017·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y＝12sinx＋32cosxx∈0，π2的单调递增区间是________.解析∵y＝12sinx＋32cosx＝sinx＋π3，由2kπ－π2≤x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得2kπ－5π6≤x≤2kπ＋π6(k∈Z).∴函数的单调递增区间为2kπ－5π6，2kπ＋π6(k∈Z)，又x∈0，π2，∴单调递增区间为0，π6.答案0，π68.若函数f(x)＝sinωx(ω0)在0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析法一由于函数f(x)＝sinωx(ω0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f(x)的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二由题意，得f(x)max＝fπ3＝sinπ3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32.答案32三、解答题9.(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π4＋1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝2sin2x＋π4＋1.当x∈0，π2时，2x＋π4∈π4，5π4，由正弦函数y＝sinx在π4，5π4上的图象知，当2x＋π4＝π2，即x＝π8时，f(x)取最大值2＋1；当2x＋π4＝5π4，即x＝π2时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.10.(2017·武汉调研)已知函数f(x)＝a2cos2x2＋sinx＋b.(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值.解f(x)＝a(1＋cosx＋sinx)＋b＝2asinx＋π4＋a＋b.(1)当a＝－1时，f(x)＝－2sinx＋π4＋b－1，由2kπ＋π2≤x＋π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)，∴f(x)的单调增区间为2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z).(2)∵0≤x≤π，∴π4≤x＋π4≤5π4，∴－22≤sinx＋π4≤1，依题意知a≠0.(ⅰ)当a0时，2a＋a＋b＝8，b＝5，∴a＝32－3，b＝5.(ⅱ)当a0时，b＝8，2a＋a＋b＝5，∴a＝3－32，b＝8.综上所述，a＝32－3，b＝5或a＝3－32，b＝8.11.已知函数f(x)＝2sinωx(ω0)在区间－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于()A.23B.32C.2D.3解析∵ω0，－π3≤x≤π4，∴－ωπ3≤ωx≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案B12.(2016·浙江卷)设函数f(x)＝sin2x＋bsinx＋c，则f(x)的最小正周期()A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关解析f(x)＝sin2x＋bsinx＋c，若b＝0，则f(x)＝sin2x＋c＝12(1－cos2x)＋c，∴f(x)的最小正周期T＝π.若b≠0，f(x)＝－12cos2x＋bsinx＋12＋c，∵y＝cos2x的最小正周期为π，y＝bsinx的最小正周期为2π，则f(x)的最小正周期T＝2π.因此f(x)的最小正周期与b有关，与c无关.答案B13.若函数f(x)＝4sin5ax－43cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a的值为________.解析因为f(x)＝8sin5ax－π3，依题意有，T2＝π3，所以T＝2π3.又因为T＝2π5|a|，所以2π5|a|＝2π3，解得a＝±35.答案±3514.(2016·天津卷)已知函数f(x)＝4tanxsinπ2－x·cosx－π3－3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性.解(1)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(x)＝4tanxcosxcosx－π3－3＝4sinx12cosx＋32sinx－3＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.又x∈－π4，π4，取k＝0，得－π12≤x≤π4，∴f(x)在区间－π12，π4上是增函数，由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋32π，k∈Z，∴kπ＋5π12≤x≤kπ＋1112π，k∈Z，又x∈－π4，π4，取k＝－1，得－π4≤x≤－π12，∴f(x)在区间－π4，－π12上是减函数.