【新高考复习】第5讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1.(2015·全国Ⅰ卷)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A.－32B.32C.－12D.12解析sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12.答案D2.(1＋tan17°)(1＋tan28°)的值是()A.－1B.0C.1D.2解析原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28°＝1＋1＝2.答案D3.(2017·西安二检)已知α是第二象限角，且tanα＝－13，则sin2α＝()A.－31010B.31010C.－35D.35解析因为α是第二象限角，且tanα＝－13，所以sinα＝1010，cosα＝－31010，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×1010×－31010＝－35，故选C.答案C4.(2017·河南六市联考)设a＝12cos2°－32sin2°，b＝2tan14°1－tan214°，c＝1－cos50°2，则有()A.a＜c＜bB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b解析由题意可知，a＝sin28°，b＝tan28°，c＝sin25°，∴c＜a＜b.答案D5.(2016·肇庆三模)已知sinα＝35且α为第二象限角，则tan2α＋π4＝()A.－195B.－519C.－3117D.－1731解析由题意得cosα＝－45，则sin2α＝－2425，cos2α＝2cos2α－1＝725.∴tan2α＝－247，∴tan2α＋π4＝tan2α＋tanπ41－tan2αtanπ4＝－247＋11－－247×1＝－1731.答案D二、填空题6.(2016·石家庄模拟)若cosα－π3＝13，则sin2α－π6的值是________.解析sin2α－π6＝sin2α－π3＋π2＝cos2α－π3＝2cos2α－π3－1＝2×19－1＝－79.答案－797.(2017·南昌一中月考)已知α∈π4，3π4，β∈0，π4，且cosπ4－α＝35，sin54π＋β＝－1213，则cos(α＋β)＝________.解析∵α∈π4，3π4，cosπ4－α＝35，∴sinπ4－α＝－45，∵sin54π＋β＝－1213，∴sinπ4＋β＝1213，又∵β∈0，π4，∴cosπ4＋β＝513，∴cos(α＋β)＝cosπ4＋β－π4－α＝35×513－45×1213＝－3365.答案－33658.已知θ∈0，π2，且sinθ－π4＝210，则tan2θ＝________.解析sinθ－π4＝210，得sinθ－cosθ＝15，①θ∈0，π2，①平方得2sinθcosθ＝2425，可求得sinθ＋cosθ＝75，∴sinθ＝45，cosθ＝35，∴tanθ＝43，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－247.答案－247三、解答题9.(2017·淮海中学模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(2，－1).(1)若a⊥b，求sinθ－cosθsinθ＋cosθ的值；(2)若|a－b|＝2，θ∈0，π2，求sinθ＋π4的值.解(1)由a⊥b可知，a·b＝2cosθ－sinθ＝0，所以sinθ＝2cosθ，所以sinθ－cosθsinθ＋cosθ＝2cosθ－cosθ2cosθ＋cosθ＝13.(2)由a－b＝(cosθ－2，sinθ＋1)可得，|a－b|＝（cosθ－2）2＋（sinθ＋1）2＝6－4cosθ＋2sinθ＝2，即1－2cosθ＋sinθ＝0.又cos2θ＋sin2θ＝1，且θ∈0，π2，所以sinθ＝35，cosθ＝45.所以sinθ＋π4＝22(sinθ＋cosθ)＝2235＋45＝7210.10.设cosα＝－55，tanβ＝13，πα3π2，0βπ2，求α－β的值.解法一由cosα＝－55，πα3π2，得sinα＝－255，tanα＝2，又tanβ＝13，于是tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝2－131＋2×13＝1.又由πα3π2，0βπ2可得－π2－β0，π2α－β3π2，因此，α－β＝5π4.法二由cosα＝－55，πα3π2得sinα＝－255.由tanβ＝13，0βπ2得sinβ＝110，cosβ＝310.所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－255310－－55110＝－22.又由πα3π2，0βπ2可得－π2－β0，π2α－β3π2，因此，α－β＝5π4.11.(2016·云南统一检测)cosπ9·cos2π9·cos－23π9＝()A.－18B.－116C.116D.18解析cosπ9·cos2π9·cos－239π＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°cos20°cos40°cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.答案A12.(2017·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为()A.[－2，1]B.[－1，2]C.[－1，1]D.[1，2]解析∵sinαcosβ－cosαsinβ＝1，∴sin(α－β)＝1，∵α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2，由0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π⇒π2≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cosα＋sinα＝2sinα＋π4，∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤54π，∴－1≤2sinα＋π4≤1，即所求的取值范围是[－1，1]，故选C.答案C13.已知cos4α－sin4α＝23，且α∈0，π2，则cos2α＋π3＝________.解析∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos2α＝23，又α∈0，π2，∴2α∈(0，π)，∴sin2α＝1－cos22α＝53，∴cos2α＋π3＝12cos2α－32sin2α＝12×23－32×53＝2－156.答案2－15614.(2016·西安模拟)如图，现要在一块半径为1m，圆心角为π3的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于θ的函数关系式.(2)求S的最大值及相应的θ角.解(1)分别过P，Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，则四边形QEDP为矩形.由扇形半径为1m，得PD＝sinθ，OD＝cosθ.在Rt△OEQ中，OE＝33QE＝33PD，MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cosθ－33sinθ，S＝MN·PD＝cosθ－33sinθ·sinθ＝sinθcosθ－33·sin2θ，θ∈0，π3.(2)由(1)得S＝12sin2θ－36(1－cos2θ)＝12sin2θ＋36cos2θ－36＝33sin2θ＋π6－36，因为θ∈0，π3，所以2θ＋π6∈π6，5π6，sin2θ＋π6∈12，1.当θ＝π6时，Smax＝36(m2).