【新高考复习】专题01 集合与常用逻辑用语-备战2019年高考数学（文）之纠错笔记系列（解析版）

专题01集合与常用逻辑用语易错点1忽略集合中元素的互异性设集合2{},,,1,{,}AxxxyBxy，若AB，则实数,xy的值为A．1xyRB．10xyC．11xyD．1xyR或10xy或11xy【错解】由AB得21xxyy或21xyxy，解得1xyR或10xy或11xy，所以选D．【错因分析】在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就不算了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．当1xyR时，A=B={1,1，y}，不满足集合元素的互异性；当11xy时，A=B={1,1,1}也不满足元素的互异性；当10xy时，A=B={1，−1,0}，满足题意．集合中元素的特性：（1）确定性.一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合；（2）互异性.集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素（3）无序性.集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系1．集合{x–1，x2–1，2}中的x不能取得值是A．2B．3C．4D．5【解析】当x=2时，x–1=1，x2–1=3，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x=3时，x–1=2，集合中元素重复，不满足互异性，集合表示错误；当x=4时，x–1=3，x2–1=15，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x=5时，x–1=4，x2–1=24，满足集合元素的互异性，集合表示正确；故选B．【答案】B易错点2误解集合间的关系致错已知集合{|0,1}ABxxA，，则下列关于集合A与B的关系正确的是A．ABB．ABC．BAD．AB【错解】因为xA，所以01{0,1}B，，，，所以AB，故选B．【错因分析】判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等关系，但有时也可能为从属关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两个集合中元素之间的关系是什么．本题比较特殊，集合B中的元素就是集合，当集合A是集合B的元素时，A与B是从属关系．【试题解析】因为xA，所以01{0,1}B，，，，则集合0,1A是集合B中的元素，所以AB，故选D．【参考答案】D（1）元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一.判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.（2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB（或BA）；如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）.2．若集合，，则有A．B．MNC．MND．【解析】，，故MN.故选B．【答案】B易错点3忽视空集易漏解已知集合2{|3100}Axxx=--?，{|121}Bxmxm=+＃-，若ABA=，则实数m的取值范围是A．[3,3]B．[2,3]C．(,3]D．[2,)【错解】∵23100xx--?，∴25x-＃，∴{|25}Axx=-＃.由ABA=知BA，∴21215mm，则33m.∴m的取值范围是33m.【错因分析】空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知，对于任何一个集合A，都有AA，所以错解中忽略了B时的情况.由BA得21215mm，解得33m.又∵2m³，∴23m.由①②知，当3m时，ABA=.【参考答案】C（1）对于任意集合A，有A，AA，所以如果AB，就要考虑集合AB或可能是；如果ABA，就要考虑集合B可能是.（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即A，()BB.3．集合，若，则实数的取值范围是A．B．C．D．【解析】当时，集合，满足题意；当时，，若，则，∴，所以，故选B．【答案】B易错点4A是B的充分条件与A的充分条件是B的区别设,abR,则“4ba”是“2,2ba且”的]A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【错解】选A．【错因分析】充分必要条件的概念混淆不清致错.【试题解析】若2,2ab且，则4ab，但当4,1ab时也有4ab，故本题选B．【参考答案】B（1）“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B，即B⇒A且A/ÞB；（2）“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A，即A⇒B且B/ÞA.4．已知a，bR，若221ab的一个充分不必要条件是abm(0)m，则实数m的取值范围是A．1,2B．,2C．1,02D．2,0【解析】由基本不等式得，221212ababab，由102abab，又因为221ab的一个充分不必要条件是abm(0)m，则12m，故选A．学！科网【答案】A易错点5命题的否定与否命题的区别命题“**nfnNN，且fnn”的否定形式是A．**()nfnfnnNN，且B．**()()nfnfnnNN，或C．**0000)()(nfnfnnNN，且D．**0000()()nfnfnnNN，或【错解】错解1：“*0nN”的否定为“*0nN”，“*fnN且fnn”的否定为“*0fnN且00()fnn”，故选C．错解2：“*fnN且fnn”的否定为“*fnN且fnn”，故选A．错解3：“*fnN且fnn”的否定为“*fnfnnN或”，故选B．【错因分析】错解1对命题的结论否定错误，没有注意逻辑联结词；对于错解2，除上述错误外，还没有否定量词；错解3的结论否定正确，但忽略了对量词的否定而造成错选．【试题解析】全称命题的否定为特称命题，因此命题“**nfnNN，且fnn”的否定形式是“**0000nfnfnnNN，或”．故选D．【参考答案】D1．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．2．命题的否定（1）对“若p，则q”形式命题的否定；（2）对含有逻辑联结词命题的否定；（3）对全称命题和特称命题的否定．（4）全称（或存在性）命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称（或存在性）命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．5．已知2||1:523,:045pxqxx，则¬p是¬qA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A将命题21:045qxx的否定形式错误地认为：21:045qxx，∴x2＋4x−50导致错误．一、集合1．元素与集合的关系：aAaA属于，记为不属于，记为.2．集合中元素的特征：（1）确定性：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合.（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.学科！网（3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系.3．常用数集及其记法：集合非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集复数集符号NN或+NZQRC4．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言图示基本基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素AB（或BA）真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB（或BA）相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集AB空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A，()BB（1）若集合A中含有n个元素，则有2n个子集，有21n个非空子集，有21n个真子集，有22n个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即,ABBCAC.（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.5．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合{|}ABxxAxB且并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合|}{ABxxAxB或补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合{|}UAxxUxA且ð（1）集合运算的相关结论交集ABAABBAAAAABBA并集ABAABBAAAAAABBA补集()UUAA痧UUðUUð()UAAð()UAAUð（2）(.)UUUABABAABBABAB痧?二、命题及其关系、充分条件与必要条件1．四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若p，则q逆否命题若q，则p2．四种命题间的关系（1）常见的否定词语正面词语=()是都是任意(所有)的任两个至多有1(n)个至少有1个否定词()不是不都是某个某两个至少有2(n+1)个1个也没有（2）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件的概念(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q且q/p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p/q且q/p，则p是q的既不充分也不必要条件.(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p是q的充分不必要条件q是p的充分不必要条件；②p是q的必要不充分条件q是p的必要不充分条件；③p是q的充要条件q是p的充要条件；④p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件.(2)集合判断法判断充分条件、必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x)}，q：B={x|q(x)}，则①若AB，则p是q的充分条件；②若BA，则p是q的必要条件；③若AB，则p是q的充分不必要条件；④若BA，则p是q的必要不充分条件；⑤若AB，则p是q的充要条件；⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件.三、逻辑联结词、全称量词与存在量词1．常见的逻辑联结词：或、且、非一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作pq，读作“p且q”；用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作pq，读作“p或q”；对一个命题p的结论进行否定