【新高考复习】专题09 直线与圆的方程-备战2019年高考数学（文）之纠错笔记系列（解析版）

专题09直线与圆的方程易错点1忽略90°倾斜角的特殊情形求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．【错解】由斜率公式可得直线AB的斜率k=3－2m－1=1m－1.①当m1时，k=1m－10，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°α90°；②当m1时，k=1m－10，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°α180°.【错因分析】当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m=1，m1，m1三种情况进行讨论．【试题解析】当m=1时，直线斜率不存在，此时直线倾斜角α=90°.当m≠1时，由斜率公式可得k=3－2m－1=1m－1.①当m1时，k=1m－10，所以直线倾斜角α的取值范围是0°α90°.②当m1时，k=1m－10，所以直线倾斜角α的取值范围是90°α180°.【参考答案】见试题解析.1．由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围时要利用正切函数y=tanx的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制.2．求解直线的倾斜角与斜率问题时要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y=tanx的单调性求斜率k的范围．3．直线的倾斜角与斜率的关系（1）任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．比如直线1x的倾斜角为2，但斜率不存在．（2）直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α0°0°α90°90°90°α180°k0k0不存在k01．直线的倾斜角的大小是_________.【答案】【解析】直线方程为，.易错点2忽略斜率不存在的特殊情形已知直线l1经过点A(3，a)，B(a−2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(−1，a−2)，若l1⊥l2，求a的值．【错解】由l1⊥l2⇔12·1kk，又k1=3－aa－5，k2=a－5－3，所以3－aa－5·a－5－3=−1，解得a=0.【错因分析】只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l1⊥l2⇔12·1kk，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑．【试题解析】由题意知l2的斜率一定存在，则l2的斜率可能为0，下面对a进行讨论．当20k时，a=5，此时k1不存在，所以两直线垂直．当20k时，由12·1kk，得a=0.所以a的值为0或5.【参考答案】0或51．直线的斜率是否存在是解直线问题首先要考虑的问题，以防漏解．2．斜率公式（1）若直线l的倾斜角90°，则斜率tank．（2）若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k=2121yyxx．3．求直线方程的方法（1）直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中的系数，写出直线方程；（2）待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．4．求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0，且A≥0.5．已知三点,,ABC，若直线,ABAC的斜率相同，则,,ABC三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数.2．设直线的方程为，根据下列条件分别求的值．（1）在轴上的截距为1；（2）斜率为1；（3）经过定点．【答案】（1）1；（2）；（3）或.【解析】(1)∵直线过点P′(1,0)，∴m2－2m－3＝2m－6.解得m＝3或m＝1.又∵m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意，∴m＝1.(2)由斜率为1，得解得m＝.(3)直线过定点P(－1，－1)，则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6，解得m＝或m＝－2.当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．易错点3忽视两条直线平行的条件当a为何值时，直线1l：y=−x＋2a与直线2l：222yax平行？【错解】由题意，得22a=−1，∴a=±1.【错因分析】该解法只注意到两直线平行时斜率相等，而忽视了斜率相等的两直线还可能重合．【试题解析】∵12ll∥，∴22a=−1且2a≠2，解得a=−1.【方法点睛】要解决两直线平行的问题，一定要注意检验，看看两直线是否重合．【参考答案】a=−1.1．两直线的位置关系问题中注意重合与平行的区别．2．由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.3．两条直线的位置关系斜截式111222::lykxblykxb一般式11112222:0:0lAxByClAxByC1l与2l相交12kk12210ABAB1l与2l垂直121kk12120AABB1l与2l平行12kk且12bb1221122100ABABBCBC或1221122100ABABACAC1l与2l重合12kk且12bb1221122112210ABABACACBCBC（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．3．已知过点2Am，和4Bm，的直线与直线210xy平行，则m的值为A．B．C．D．【答案】B【名师点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系，以及两点间的斜率公式的应用，其中熟记两条直线的位置关系和斜率公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．易错点4忽视截距为0的情形已知直线l过点P(2，−1)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.【思路分析】截距式方程中a≠0，b≠0，即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程．注意在两坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程，此时在x，y轴上的截距均为0，即过原点．【参考答案】20xy或x＋y−1=0.1．在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．2．在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点，常见的与截距问题有关的易错点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，应先考虑截距为0的情形，注意分类讨论思想的运用．4．直线在轴和轴上的截距相等，则实数=__________.【答案】1或-2【解析】当0,2xya，当20,ayxa，直线在轴和轴上的截距相等，所以22aaa，解得.易错点5含参数的两条直线相交因考虑问题不全面而致误若三条直线123:10,:10,:0laxylxaylxya共有三个不同的交点，则a的取值范围为A．1aB．a≠1且a≠−2C．a≠−2D．1a且a≠−2【错解】选A或选B当a=1，2l与3l重合．④若1l∥3l，则由a×1−1×1=0，解得a=1，当a=1时，1l与3l重合．综上，当a=1时，三条直线重合；当a=−1时，1l∥2l；当a=−2时，三条直线交于一点.所以要使三条直线共有三个交点，需1a且a≠−2.【参考答案】D学科#网1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标.2．求过两直线交点的直线方程的求法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.5．已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是A．B．或C．D．【答案】A【解析】联立，解得直线与直线的交点位于第一象限，，解得，故选A.易错点6忽视圆的方程需要满足的条件致错已知点O(0，0)在圆x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k−1=0外，求k的取值范围．【错解】∵点O(0，0)在圆外，∴2k2＋k−1＞0，解得k＞12或k＜−1.∴k的取值范围是(−∞，−1)∪(12，＋∞)．方程是否满足表示圆的条件，这是将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题．1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．3．与圆有关的对称问题（1）圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称．（2）圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；②两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．（3）圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；②两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．4．对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．6．已知圆22220xyxyk和定点P(1，−1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是A．(−2，＋∞)B．(−∞，2)C．(−2，2)D．(−∞，−2)∪(2，＋∞)【答案】C【解析】因为方程22220xyxyk表示一个圆，所以4＋4−4k0，解得k2.要使P在圆外，则221121210k，解得k−2，故−2k2.易错点7利用数形结合的解题误区方程1－x2=kx＋2有唯一解，则实数k的取值范围是A．k=±3B．k∈(−2，2)C．k−2或k2D．k−2或k2或k=±3【错解】选A或选C【错因分析】因忽视y=1－x2中的y≥0而认为直线与圆相切而错选A．虽然注意到图形表示半圆但漏掉直线与圆相切的情形而错选C．【试题解析】由题意知，直线y=kx＋2与半圆x2＋y2=1(y≥0)只有一个交点．结合图形易得k−2或k2或k=±3.【参考答案】D1．判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是：（1）明确圆心C的坐标（a，b）和半径长r，将直线方程化为一般式；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d；（3）比较d与r的大小，写出结论.判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法.2．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理222()2ldr求解；二是若斜率为k的直线l与圆C交于1122,,()()AxyBxy，两点，则212||1||ABkxx.7．若直线y=x＋b与曲线y=4－x2有公共点，试求b的取值范围．【答案】−2≤b≤22【解析】如图所示，在坐标系内作出曲线y=4－x2(半圆)，直线l1：y=x−2，直线l2：y=x＋22.当直线l：y=x＋b夹在l1与l2之间(包含l1，l2)时，l与曲线y=4－x2有公共点，所以b的取值范围为−2≤b≤22.易错点8不理解两圆相切已知圆22221