【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第3章 强化训练3 导数中的综合问题

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强化训练3导数中的综合问题1.(2020·秦皇岛模拟)如图是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是()A.在(-3,1)上,f(x)是增函数B.当x=1时,f(x)取得极大值C.在(4,5)上,f(x)是增函数D.当x=2时,f(x)取得极小值答案C解析根据题意,依次分析选项:对于A,在-3,-32上,f′(x)<0,f(x)为减函数,错误;对于B,在-32,2上,f′(x)>0,f(x)为增函数,x=1不是f(x)的极大值点,错误;对于C,在(4,5)上,f′(x)>0,f(x)为增函数,正确;对于D,在-32,2上,f′(x)>0,f(x)为增函数,在(2,4)上,f′(x)<0,f(x)为减函数,则当x=2时,f(x)取得极大值,D错误.2.已知函数f(x)=13ax3+12bx2+cx+d(a,b,c,d∈R)的单调递增区间是(-3,1),则()A.abcB.bcaC.bacD.acb答案C解析由题意可得f′(x)=ax2+bx+c,则f′(x)0的解集为(-3,1),即f′(x)=a(x+3)(x-1)=0,a0,可得b=2a,c=-3a,∴bac.3.已知实数x,y满足2x+2x2y+2y,则()A.xyB.x=yC.xyD.x,y的大小不确定答案C解析设f(t)=2t+2t,所以f′(t)=2+2tln20,所以函数f(t)在R上单调递增,由题意得f(x)f(y),所以xy.4.已知函数f(x)=x3-3x2+2,对于任意的x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤m,则实数m的最小值为()A.0B.2C.4D.6答案C解析对于任意x1,x2∈[-1,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤m,即f(x)max-f(x)min≤m,f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).当x∈(-1,0)时,f′(x)0,f(x)单调递增;当x∈(0,1)时,f′(x)0,f(x)单调递减;∴当x=0时,f(x)max=f(0)=2,∵f(-1)=-1-3+2=-2,f(1)=1-3+2=0,∴f(x)min=-2,∴m≥f(x)max-f(x)min=4,即m的最小值为4.5.(多选)如果函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则以下关于函数y=f(x)的判断正确的是()A.在区间(2,4)内单调递减B.在区间(2,3)内单调递增C.x=-3是极小值点D.x=4是极大值点答案BD解析A项,函数y=f(x)在区间(2,4)内f′(x)>0,则函数f(x)在区间(2,4)上单调递增,故A不正确;B项,函数y=f(x)在区间(2,3)内的导数f′(x)>0,则函数f(x)在区间(2,3)上单调递增,故B正确;C项,由图象知当x=-3时,函数f′(x)取得极小值,但是函数y=f(x)没有取得极小值,故C错误;D项,当x=4时,f′(x)=0,当2<x<4时,f′(x)>0,函数y=f(x)为增函数,当x4时,f′(x)<0,函数y=f(x)为减函数,则x=4是函数f(x)的极大值点,故D正确.6.(多选)已知函数f(x)=x3-2x2-4x-7,其导函数为f′(x),下列命题中真命题的为()A.f(x)的单调递减区间是23,2B.f(x)的极小值是-15C.当a>2时,对任意的x>2且x≠a,恒有f(x)>f(a)+f′(a)(x-a)D.函数f(x)有且只有一个零点答案BCD解析f(x)=x3-2x2-4x-7,其导函数为f′(x)=3x2-4x-4.令f′(x)=0,解得x=-23,x=2,当f′(x)>0,即x<-23或x>2时,函数单调递增,当f′(x)<0,即-23<x<2时,函数单调递减;故当x=2时,函数有极小值,极小值为f(2)=-15,当x=-23时,函数有极大值,极大值为f-23<0,故函数只有一个零点,A错误,BD正确;当a2时,对任意的x2且x≠a,恒有f(x)f(a)+f′(a)(x-a),即f(x)-f(a)-f′(a)(x-a)=x3+2a3-2x2-2a2-3a2x+4ax0在x2,a2且x≠a上恒成立,设g(x)=f(x)-f(a)-f′(a)(x-a),g′(x)=3x2-4x-3a2+4a,令h(x)=g′(x),h′(x)=6x-4,令h′(x)0,x23,∴g′(x)在(2,+∞)上单调递增,又因为g′(a)=0,所以当2xa时,g′(x)0,当xa时,g′(x)0,所以g(x)在(2,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,又x≠a,所以g(x)g(a)=0,所以恒有f(x)f(a′)+f′(a)·(x-a).故C正确.7.已知函数f(x)=(x2-a)ex在区间[1,2]上单调递增,则a的取值范围是________.答案(-∞,3]解析f′(x)=(x2+2x-a)ex≥0在区间[1,2]上恒成立,则x2+2x-a≥0在区间[1,2]上恒成立,即a≤(x2+2x)min=12+2=3,所以a的取值范围是(-∞,3].8.设x=θ是函数f(x)=3cosx+sinx的一个极值点,则cos2θ+sin2θ=________.答案910解析因为函数f(x)=3cosx+sinx,所以f′(x)=-3sinx+cosx,因为x=θ是函数f(x)=3cosx+sinx的一个极值点,所以f′(θ)=-3sinθ+cosθ=0,tanθ=13,所以cos2θ+sin2θ=cos2θcos2θ+sin2θ=11+tan2θ=910.9.若直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线,且a0,则实数b的最小值是________.答案-2解析y=2alnx的导数为y′=2ax,由于直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线,设切点为(m,n),则2am=2,∴m=a,又2m+b=2alnm,∴b=2alna-2a(a>0),b′=2(lna+1)-2=2lna,当a1时,b′0,函数b=2alna-2a(a>0)单调递增,当0<a<1时,b′0,函数b=2alna-2a(a0)单调递减,∴a=1为极小值点,也为最小值点,∴b的最小值为2ln1-2=-2.10.若函数f(x)=ex-ax的极值为1,则实数a的值为________.答案1解析由已知可得f′(x)=ex-a.当a≤0时,对任意的x∈R,f′(x)0,此时函数f(x)在R上单调递增,函数f(x)无极值;当a0时,令f′(x)0,可得xlna,此时函数f(x)单调递减.令f′(x)0,可得xlna,此时函数f(x)单调递增.所以函数f(x)=ex-ax的极小值为f(lna)=elna-alna=a-alna=1,令g(a)=a-alna,则a0且g(1)=1,g′(a)=-lna.当0a1时,g′(a)0,函数g(a)单调递增;当a1时,g′(a)0,函数g(a)单调递减.所以g(a)≤g(1)=1,由于g(a)=a-alna=1,所以a=1.11.已知函数f(x)=13x3-bx2+2x+a,x=2是f(x)的一个极值点.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若当x∈[1,3]时,f(x)-a223恒成立,求实数a的取值范围.解(1)f′(x)=x2-2bx+2.∵x=2是f(x)的一个极值点,∴x=2是方程x2-2bx+2=0的一个根,解得b=32.令f′(x)0,则x2-3x+20,解得x1或x2.∴函数y=f(x)的单调递增区间为(-∞,1),(2,+∞).(2)∵当x∈(1,2)时,f′(x)0,x∈(2,3)时,f′(x)0,∴f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增.∴f(2)是f(x)在区间[1,3]上的最小值,且f(2)=23+a.若当x∈[1,3]时,要使f(x)-a223恒成立,只需f(2)a2+23,即23+aa2+23,解得0a1.∴实数a的取值范围为(0,1).12.已知函数f(x)=12ax2-x·lnx+b(a,b∈R),g(x)=f′(x).(1)判断函数y=g(x)的单调性;(2)若x∈(0,e](e≈2.718…),判断是否存在实数a,使函数g(x)的最小值为2?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.解(1)由f(x)=12ax2-x·lnx+b,知g(x)=f′(x)=ax-lnx-1,x0,故g′(x)=a-1x=ax-1x.当a≤0时,g′(x)0,即g(x)在(0,+∞)上单调递减,当a0时,在0,1a上,g′(x)0,在1a,+∞上,g′(x)0,所以g(x)在0,1a上单调递减,在1a,+∞上单调递增.(2)当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,所以g(x)min=g(e)=ea-2≤-2.故不存在最小值2.当0a≤1e时,1a≥e,g(x)在(0,e]上单调递减,所以g(x)min=g(e)=ea-1-lne=2,所以a=4e,不符合题意,舍去.当a1e时,01ae,在0,1a上g′(x)0,函数g(x)单调递减;在1a,e上g′(x)0,函数g(x)单调递增,由此g(x)min=g1a=1-1-ln1a=2,所以lna=2.解得a=e2,故当a=e2时,函数g(x)的最小值为2.13.某企业拟建造一个容器(不计厚度,长度单位:米),该容器的底部为圆柱形,高为l,底面半径为r,上部为半径为r的半球形,按照设计要求容器的体积为283π立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关,已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元,半球形部分每平方米建造费用为4万元,则该容器的建造费用最小时,半径r的值为()A.1B.32C.34D.2答案C解析由题意知V=πr2l+12×43πr3=πr2l+23πr3=283π,故l=283π-23πr3πr2=283r2-23r=28-2r33r2,由l0可知r314.∴建造费用y=(2πrl+πr2)×3+12×4πr2×4=6πr×28-2r33r2+11πr2=56πr+7πr2(0r314),则y′=14πr-56πr2=14πr3-4r2.当r∈(0,34)时,y′0,r∈(34,314)时,y′0.∴当r=34时,该容器的建造费用最小.14.设定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),若f(x)+f′(x)2,f(0)=2021,则不等式exf(x)2ex+2019(其中e为自然对数的底数)的解集为()A.(0,+∞)B.(2019,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(2019,+∞)答案C解析设g(x)=ex[f(x)-2],所以g′(x)=ex[f(x)+f′(x)-2],因为f(x)+f′(x)2,所以g′(x)=ex[f(x)+f′(x)-2]0,所以g(x)在R上单调递减,且g(0)=1×[f(0)-2]=2019,又因为exf(x)2ex+2019等价于g(x)2019,所以原不等式的解集为(-∞,0).15.某数学兴趣小组对形如f(x)=x3+ax2+bx+c的某三次函数的性质进行研究,得出如下四个结论,其中有且只有一个是错误的,则错误的结论一定是()A.函数f(x)的图象过点(2,1)B.函数f(x)在x=0处有极值C.函数f(x)的单调递减区间为[0,2]D.函数f(x)的图象关于点(1,0)对称答案D解析对于A选项,f(2)=8+4a+2b+c=1;对于B选项,f′(x)=3x2+2ax+b,f′(0)=b=0;对于C选项,由单调递减区间可得f′(0)=b=0,f′(2)=12+4a+b=0,因为有且仅有一个选项错误,所以B,C正确;所以a=-3,b=0.对于D选项,函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,则有f(1+x)+f(1-x)=0,可赋值得到:当x=0时,2f(1

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