【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 §4.2　同角三角函数基本关系式及诱导

§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式α±π2，α±π的正弦、余弦、正切.1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sinαcosα＝tanαα≠π2＋kπ，k∈Z.2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀奇变偶不变，符号看象限微思考1．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示所有诱导公式均可看作k·π2±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数．2．同角三角函数关系式的常用变形有哪些？提示同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα等．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(×)(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．(×)(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(×)(4)若sin3π2－α＝13，则cosα＝－13.(√)题组二教材改编2．若sinα＝55，π2απ，则tanα等于()A．－2B．2C.12D．－12答案D解析∵π2απ，∴cosα＝－1－sin2α＝－255，∴tanα＝sinαcosα＝－12.3．已知tanα＝2，则3sinα－cosαsinα＋2cosα等于()A.54B．－54C.53D．－53答案A解析原式＝3tanα－1tanα＋2＝3×2－12＋2＝54.4．化简cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．答案－sin2α解析原式＝sinαcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α.题组三易错自纠5．(多选)已知A＝sinkπ＋αsinα＋coskπ＋αcosα(k∈Z)，则A的值是()A．2B．1C．－2D．0答案AC解析当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；当k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.6．已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈0，π4，则sinθ－cosθ的值为．答案－23解析∵sinθ＋cosθ＝43，∴sinθcosθ＝718.又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝29，θ∈0，π4，∴sinθ－cosθ＝－23.题型一同角三角函数基本关系式的应用1．(2021·北京市西城区模拟)已知α∈(0，π)，cosα＝－35，则tanα等于()A.34B．－34C.43D．－43答案D解析因为cosα＝－35且α∈(0，π)，所以sinα＝1－cos2α＝45，所以tanα＝sinαcosα＝－43.故选D.2．已知α是三角形的内角，且tanα＝－13，则sinα＋cosα的值为．答案－105解析由tanα＝－13，得sinα＝－13cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得109cos2α＝1，所以cos2α＝910，易知cosα0，所以cosα＝－31010，sinα＝1010，故sinα＋cosα＝－105.3．若角α的终边落在第三象限，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为．答案－3解析由角α的终边落在第三象限，得sinα0，cosα0，故原式＝cosα|cosα|＋2sinα|sinα|＝cosα－cosα＋2sinα－sinα＝－1－2＝－3.4．已知sinθ＋cosθ＝713，θ∈(0，π)，则tanθ＝.答案－125解析方法一由sinθ＋cosθ＝713，得sinθcosθ＝－60169，因为θ∈(0，π)，所以sinθ0，cosθ0，所以sinθ－cosθ＝1－2sinθcosθ＝1713，联立sinθ＋cosθ＝713，sinθ－cosθ＝1713，解得sinθ＝1213，cosθ＝－513，所以tanθ＝－125.方法二因为sinθ＋cosθ＝713，所以sinθcosθ＝－60169，由根与系数的关系，知sinθ，cosθ是方程x2－713x－60169＝0的两根，所以x1＝1213，x2＝－513.又sinθcosθ＝－601690，θ∈(0，π)，所以sinθ0，cosθ0.所以sinθ＝1213，cosθ＝－513.所以tanθ＝sinθcosθ＝－125.方法三由sinθ＋cosθ＝713，得sinθcosθ＝－60169，所以sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝－60169.齐次化切，得tanθtan2θ＋1＝－60169，即60tan2θ＋169tanθ＋60＝0，解得tanθ＝－125或tanθ＝－512.又θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝7130，sinθcosθ＝－601690，所以θ∈π2，3π4，所以tanθ＝－125.思维升华(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.题型二诱导公式的应用例1(1)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3,4)，则sinα－2021π2等于()A．－45B．－35C.35D.45答案B解析由题意知sinα＝45，cosα＝35，∴sinα－2021π2＝sinα－π2＝－cosα＝－35.(2)已知f(α)＝cosπ2＋αsin3π2－αcos－π－αtanπ－α，则f－25π3的值为．答案12解析因为f(α)＝cosπ2＋αsin3π2－αcos－π－αtanπ－α＝－sinα－cosα－cosα－sinαcosα＝cosα，所以f－25π3＝cos－25π3＝cosπ3＝12.思维升华(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.跟踪训练1(1)已知sinα＋π3＝1213，则cosπ6－α等于()A.513B.1213C．－513D．－1213答案B解析因为sinα＋π3＝1213，所以cosπ6－α＝sinπ2－π6－α＝sinα＋π3＝1213.(2)(2021·江西临川第一中学等九校联考)已知α∈(0，π)，且cosα＝－1517，则sinπ2＋α·tan(π＋α)等于()A．－1517B.1517C．－817D.817答案D解析sinπ2＋α·tan(π＋α)＝cosα·tanα＝sinα，因为α∈(0，π)，且cosα＝－1517，所以sinα＝1－cos2α＝1－－15172＝817，即sinπ2＋α·tan(π＋α)＝817.故选D.题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例2(1)(2021·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是()A.355B.377C.31010D.13答案C解析由已知得3sinβ－2tanα＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0.消去sinβ，得tanα＝3，∴sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝910，则sinα＝31010(α为锐角)．(2)已知－πx0，sin(π＋x)－cosx＝－15.求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．解由已知，得sinx＋cosx＝15，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125，整理得2sinxcosx＝－2425.∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925，由－πx0知，sinx0，又sinxcosx＝－12250，∴cosx0，∴sinx－cosx0，故sinx－cosx＝－75.∴sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋sinx1－sinxcosx＝2sinxcosxcosx＋sinxcosx－sinx＝－2425×1575＝－24175.思维升华(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练2(1)(2021·潍坊调研)已知3sin33π14＋α＝－5cos5π14＋α，则tan5π14＋α等于()A．－53B．－35C.35D.53答案A解析由3sin33π14＋α＝－5cos5π14＋α，得sin5π14＋α＝－53cos5π14＋α，所以tan5π14＋α＝sin5π14＋αcos5π14＋α＝－53cos5π14＋αcos5π14＋α＝－53.(2)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2021)的值为．答案－3解析因为f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，所以f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，所以f(2021)＝asin(2021π＋α)＋bcos(2021π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－3.课时精练1．sin1050°等于()A.12B．－12C.32D．－32答案B解析sin1050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin30°＝－12.2．已知α是第四象限角，tanα＝－815，则sinα等于()A.1517B．－1517C.817D．－817答案D解析因为tanα＝－815，所以sinαcosα＝－815，所以cosα＝－158sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝64289，又α是第四象限角，所以sinα＝－817.3．(2020·杭州学军中学模拟)已知cos31°＝a，则sin239°·tan149°的值为()A.1－a2aB.1－a2C.a2－1aD．－1－a2答案B解析sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－a2.4．(2020·天津西青区模拟)已知sinα＋cosα＝－2，则tanα＋1tanα等于()A．2B.12C．－2D．－12答案A解析由已知得1＋2sinαcosα＝2，∴sinαcosα＝12，∴tanα＋1tanα＝sinαcosα＋cosαsinα＝sin2α＋cos2αsinαcosα＝112＝2.5．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sinB＋C2＝cosA2C．tan(A＋B)＝－tanCC≠π2D