【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 §4.3 第1课时　两角和与差的正弦、

§4.3简单的三角恒等变换考试要求1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ.微思考1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示诱导公式可以看成和差公式中β＝k·π2(k∈Z)时的特殊情形．2．两角和与差的公式的常用变形有哪些？提示(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ.(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．(×)(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(×)(4)3sinα＋cosα＝2sinα＋π3.(×)题组二教材改编2．若cosα＝－45，α是第三象限角，则sinα＋π4等于()A．－210B.210C．－7210D.7210答案C解析∵α是第三象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－35，∴sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝－35×22＋－45×22＝－7210.3．cos17°cos77°＋cos73°cos13°＝.答案12解析cos17°cos77°＋cos73°cos13°＝cos17°sin13°＋sin17°cos13°＝sin(17°＋13°)＝sin30°＝12.4．tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝.答案3解析∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°，∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°)＝3－3tan10°tan50°，∴原式＝3－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝3.题组三易错自纠5．计算：1＋tan15°1－tan15°＝.答案3解析1＋tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝3.6．(多选)下面各式中，正确的是()A．sinπ4＋π3＝sinπ4cosπ3＋32cosπ4B．cos5π12＝22sinπ3－cosπ4cosπ3C．cos－π12＝cosπ4cosπ3＋64D．cosπ12＝cosπ3－cosπ4答案ABC解析∵sinπ4＋π3＝sinπ4cosπ3＋cosπ4sinπ3＝sinπ4cosπ3＋32cosπ4，∴A正确；∵cos5π12＝－cos7π12＝－cosπ3＋π4＝22sinπ3－cosπ4cosπ3，∴B正确；∵cos－π12＝cosπ4－π3＝cosπ4cosπ3＋64，∴C正确；∵cosπ12＝cosπ3－π4≠cosπ3－cosπ4，∴D不正确．故选ABC.题型一两角和与差的三角函数公式例1(1)(2020·全国Ⅲ)已知sinθ＋sinθ＋π3＝1，则sinθ＋π6等于()A.12B.33C.23D.22答案B解析因为sinθ＋sinθ＋π3＝sinθ＋π6－π6＋sinθ＋π6＋π6＝sinθ＋π6cosπ6－cosθ＋π6sinπ6＋sinθ＋π6cosπ6＋cosθ＋π6sinπ6＝2sinθ＋π6cosπ6＝3sinθ＋π6＝1.所以sinθ＋π6＝33.(2)已知sinα＝35，α∈π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为()A．－211B.211C.112D．－112答案A解析∵α∈π2，π，∴cosα＝－45，tanα＝－34，又tan(π－β)＝12，∴tanβ＝－12，∴tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanα·tanβ＝－34＋121＋－12×－34＝－211.思维升华两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1(1)若sin(2α－β)＝16，sin(2α＋β)＝12，则sin2αcosβ等于()A.23B.13C.16D.112答案B解析由sin(2α－β)＝16，sin(2α＋β)＝12，可得sin2αcosβ－cos2αsinβ＝16，①sin2αcosβ＋cos2αsinβ＝12，②由①＋②得2sin2αcosβ＝23，所以sin2αcosβ＝13.故选B.(2)已知cosα＋π6＝3cosα，tanβ＝33，则tan(α＋β)＝.答案－33解析因为cosα＋π6＝32cosα－12sinα＝3cosα，所以－sinα＝3cosα，故tanα＝－3，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－3＋331＋3×33＝－2332＝－33.题型二两角和与差的三角函数公式的逆用与变形例2(1)若α＋β＝－3π4，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝.答案2解析tan－3π4＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝1，所以1－tanαtanβ＝tanα＋tanβ，所以1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1＋tanα)·(1＋tanβ)＝2.(2)(2018·全国Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝.答案－12解析∵sinα＋cosβ＝1，①cosα＋sinβ＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．跟踪训练2(1)已知α∈－π2，π2，tanα＝sin76°cos46°－cos76°sin46°，则sinα等于()A.55B．－55C.255D．－255答案A解析由tanα＝sin76°cos46°－cos76°sin46°＝sin(76°－46°)＝sin30°＝12，∵α∈－π2，π2，∴α∈0，π2，联立sinαcosα＝12，sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝55.(2)(1＋tan20°)(1＋tan21°)(1＋tan24°)(1＋tan25°)＝.答案4解析(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan20°tan25°)＋tan20°tan25°＝2，同理可得(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2，所以原式＝4.题型三角的变换问题例3(1)已知sinα＝255，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6答案C解析因为sinα＝255，sin(β－α)＝－1010，且α，β均为锐角，所以cosα＝55，cos(β－α)＝31010，所以sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinα·cos(β－α)＋cosαsin(β－α)＝255×31010＋55×－1010＝25250＝22，所以β＝π4.故选C.(2)(2020·黑龙江大庆实验中学训练)已知α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝2425，则cosα＋π4＝.答案－45解析由题意知，α＋β∈3π2，2π，sin(α＋β)＝－350，所以cos(α＋β)＝45，因为β－π4∈π2，3π4，所以cosβ－π4＝－725，cosα＋π4＝cosα＋β－β－π4＝cos(α＋β)cosβ－π4＋sin(α＋β)sinβ－π4＝－45.思维升华常见的角变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝α＋β2＋α－β2，π3＋α＝π2－π6－α，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，π4＋α＋π4－α＝π2等．跟踪训练3(1)已知α∈－π3，0，cosα＋π6－sinα＝435，则sinα＋π12的值是()A．－235B．－210C.235D．－45答案B解析由cosα＋π6－sinα＝435，得cosαcosπ6－sinαsinπ6－sinα＝435，即32cosα－32sinα＝435，所以12cosα－32sinα＝45，即cosα＋π3＝45.因为α∈－π3，0，所以α＋π3∈0，π3，所以sinα＋π3＝1－cos2α＋π3＝35，所以sinα＋π12＝sinα＋π3－π4＝22sinα＋π3－22cosα＋π3＝22×35－45＝－210.故选B.(2)已知π2βα3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin2α等于()A.5665B．－5665C.1665D．－1665答案B解析因为π2βα3π4，所以0α－βπ4，πα＋β3π2，由cos(α－β)＝1213，得sin(α－β)＝513，由sin(α＋β)＝－35，得cos(α＋β)＝－45，则sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×－45＋1213×－35＝－5665.故选B.课时精练1．－sin133°cos197°－cos47°cos73°等于()A.12B.33C.22D.32答案A解析－sin133°cos197°－cos47°cos73°＝－sin47°·(－cos17°)－cos47°sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12.2．在△ABC中，cosAcosBsinAsinB，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案C解析依题意可知cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)0，所以－cosC0，所以cosC0，所以C为钝角．故选C.3．已知α，β∈－π2，π2，tanα，tanβ是方程x2＋12x＋10＝0的两根，则tan(α＋β)等于()A.43B．－2或12C.12D．－2答案A解析因为α，β∈－π2，π2，tanα，tanβ是方程x2＋12x＋10＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝－12，tanα·ta