【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 §4.5　函数y＝Asin(ωx＋φ)

§4.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用考试要求1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．1．简谐运动的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)一个周期内的简图时，要找五个特征点x0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种途径微思考1．如图所示为函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象．利用零点代入求φ时，ωx1＋φ取哪些值？提示2kπ＋π，k∈Z.2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？对称中心是什么？提示对称轴是直线x＝kπω＋π2ω－φω(k∈Z)，对称中心是点kπω－φω，0(k∈Z)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)把y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin12x.(×)(2)将y＝sin2x的图象向右平移π6个单位长度，得到y＝sin2x－π3的图象．(√)(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(×)(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为T2.(√)题组二教材改编2．函数y＝2sin12x－π3的振幅、频率和初相分别为()A．2,4π，π3B．2，14π，π3C．2，14π，－π3D．2,4π，－π3答案C解析由题意知A＝2，f＝1T＝ω2π＝14π，初相为－π3.3．函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________．答案y＝sin12x解析根据函数图象变换法则可得．4．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b,0φπ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．答案y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]解析从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝12×(30－10)＝10，b＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2kπ，k∈Z,0φπ，所以φ＝3π4，所以y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]．题组三易错自纠5．y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________．答案π2＋4解析相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.6．将曲线C1：y＝2cos2x－π6上的点向右平移π6个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到曲线C2，则C2的方程为()A．y＝2sin4xB．y＝2sin4x－π3C．y＝2sinxD．y＝2sinx－π3答案A解析将曲线C1：y＝2cos2x－π6上的点向右平移π6个单位长度，可得y＝2sin2x的图象，再将各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，可得曲线C2：y＝2sin4x，故选A.题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1(1)(2020·天津)已知函数f(x)＝sinx＋π3.给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②fπ2是f(x)的最大值；③把函数y＝sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A．①B．①③C．②③D．①②③答案B解析T＝2π1＝2π，故①正确．当x＋π3＝π2＋2kπ(k∈Z)，即x＝π6＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，故②错误．y＝sinx的图象―――――――――→向左平移π3个单位长度y＝sinx＋π3的图象，故③正确．(2)(2020·江苏)将函数y＝3sin2x＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________．答案x＝－5π24解析将函数y＝3sin2x＋π4的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝3sin2x－π6＋π4＝3sin2x－π12.令2x－π12＝kπ＋π2，k∈Z，得对称轴的方程为x＝kπ2＋7π24，k∈Z，分析知当k＝－1时，对称轴为直线x＝－5π24，与y轴最近．思维升华(1)由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(2)当x的系数不为1时，特别注意先提取系数，再加减．跟踪训练1(1)(2020·广州测试)由y＝2sin6x－π6的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为()A．y＝2sin3x－π6B．y＝2sin3x＋π6C．y＝2sin3x－π12D．y＝2sin12x－π6答案A解析由y＝2sin6x－π6的图象向左平移π3个单位长度，可得y＝2sin6x＋π3－π6＝2sin6x＋2π－π6＝2sin6x－π6的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin3x－π6的图象，故所得图象对应的函数解析式为y＝2sin3x－π6，选A.(2)已知函数f(x)＝sin2x－3cos2x，将y＝f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则所得函数的最小正周期为________，g－3π4的值为________．答案π3解析由题意知函数f(x)＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3，将y＝f(x)的图象向左平移π6个单位长度，可得y＝2sin2x＋π3－π3＝2sin2x的图象，再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)＝2sin2x＋1的图象，则T＝2π2＝π，g－3π4＝2sin－3π2＋1＝3.题型二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式1．(2020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝cosωx＋π6在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝cos－32x＋π6B．f(x)＝cos32x＋π6C．f(x)＝cos34x－π6D．f(x)＝cos34x＋π6答案B解析由图象知πT2π，即π2π|ω|2π，所以1|ω|2.因为图象过点－4π9，0，所以cos－4π9ω＋π6＝0，所以－4π9ω＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，所以ω＝－94k－34，k∈Z.因为1|ω|2，故k＝－1，得ω＝32，所以f(x)＝cos32x＋π6.2.(2021·蓉城名校联考)若将函数g(x)图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则()A．g(x)＝sin2x＋π3B．g(x)＝sin2x＋2π3C．g(x)＝sin2xD．g(x)＝sin2x＋π6答案C解析根据题图有A＝1，34T＝5π6－π12＝3π4⇒T＝π＝2πω⇒ω＝2(T为f(x)的最小正周期)，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，由fπ12＝sin2×π12＋φ＝1⇒sinπ6＋φ＝1⇒π6＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z⇒φ＝π3＋2kπ，k∈Z.因为|φ|π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝sin2x＋π3，将f(x)＝sin2x＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝fx－π6＝sin2x－π6＋π3＝sin2x.故选C.3.(2021·兰州实战考试)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.答案－3解析由题意得，A＝3，T＝4＝2πω，ω＝π2.又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝π2＋kπ，k∈Z，由0φπ，取k＝0，则φ＝π2，所以f(x)＝3cosπ2x＋π2，所以f(1)＝－3.思维升华y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．题型三三角函数图象、性质的综合应用命题点1图象与性质的综合应用例2(2020·青岛模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋θ)ω0，－π2≤θ≤π2的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2，若将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到偶函数g(x)的图象，则函数f(x)的一个单调递减区间为()A.－π3，π6B.π4，7π12C.0，π3D.π2，5π6答案B解析因为函数f(x)＝sin(ωx＋θ)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2，所以T2＝π2，即T＝π，即2πω＝π，ω＝2，得f(x)＝sin(2x＋θ)，将f(x)的图象向左平移π6个单位长度后，得到g(x)＝sin2x＋π3＋θ的图象，因为g(x)为偶函数，所以π3＋θ＝kπ＋π2(k∈Z)，解得θ＝kπ＋π6(k∈Z)．又因为－π2≤θ≤π2，所以θ＝π6，所以f(x)＝sin2x＋π6.令π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ(k∈Z)，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ(k∈Z)．当k＝0时，得到一个单调递减区间为π6，2π3.又π4，7π12⊆π6，2π3，故选B.命题点2函数零点(方程根)问题例3已知关于x的方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在π2，π上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．答案(－2，－1)解析方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x＝2sin2x＋π6，x∈π2，π.设2x＋π6＝t，则t∈7π6，13π6，∴题目条件可转化为m2＝sint，t∈7π6，13π6有两个不同的实数根．∴y＝m2和y＝sint，t∈7π6，13π6的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m2的取值范围是－1，－12，故m的取值范围是(－2，－1)．本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________．答案[－2,1)解析同例题知，m2的取值范围是－1，12，∴－2≤m1，∴m的取值范围是[－2,1)．命题点3三角函数模型例4(2020·山东省八所重点中学联考)如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0cosπ3，sinπ3开始，按逆时针方向以角速度2rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2,0)开始，按顺时针方向以角速度2rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.(1)求t＝π4时，A