【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 §4.4　三角函数的图象与性质

§4.4三角函数的图象与性质考试要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在－π2，π2上的性质．1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRxx≠kπ＋π2值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2递减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ，2kπ＋π]对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴方程x＝kπ＋π2x＝kπ微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？提示(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．(×)(2)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(×)(3)y＝sin|x|是偶函数．(√)(4)由sinπ6＋2π3＝sinπ6知，2π3是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．(×)题组二教材改编2．函数f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是()A.x∈Rx≠π6B.x∈Rx≠－π12C.x∈Rx≠kπ＋π6k∈ZD.x∈Rx≠kπ2＋π6k∈Z答案D解析由2x＋π6≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ2＋π6，k∈Z.3．下列函数中，是奇函数的是()A．y＝|cosx＋1|B．y＝1－sinxC．y＝－3sin(2x＋π)D．y＝1－tanx答案C解析选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y＝－3sin(2x＋π)＝3sin2x，所以是奇函数，选C.4．函数f(x)＝cos2x＋π4的最小正周期是________．答案π题组三易错自纠5．(多选)已知函数f(x)＝sinx－π2(x∈R)，下列结论正确的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间0，π2上单调递增C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数答案ABC解析由题意，可得f(x)＝－cosx，对于选项A，T＝2π1＝2π，所以选项A正确；对于选项B，y＝cosx在0，π2上单调递减，所以函数f(x)在区间0，π2上单调递增，所以选项B正确；对于选项C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cosx＝f(x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确；选项D错误．故选ABC.6．函数y＝tanx＋π4的图象的对称中心是________．答案kπ2－π4，0，k∈Z解析由x＋π4＝kπ2，k∈Z，得x＝kπ2－π4，k∈Z，∴对称中心是kπ2－π4，0，k∈Z.题型一三角函数的定义域和值域例1(1)函数y＝sinx－cosx的定义域为________．答案2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)解析要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.(2)当x∈π6，7π6时，函数y＝3－sinx－2cos2x的值域为________．答案78，2解析因为x∈π6，7π6，所以sinx∈－12，1.又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2sinx－142＋78，所以当sinx＝14时，ymin＝78，当sinx＝－12或sinx＝1时，ymax＝2.即函数的值域为78，2.思维升华求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．跟踪训练1(1)函数f(x)＝ln(cosx)的定义域为()A.kπ－π2，kπ＋π2，k∈ZB．(kπ，kπ＋π)，k∈ZC.2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈ZD．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z答案C解析由题意知，cosx0，∴2kπ－π2x2kπ＋π2，k∈Z，∴函数f(x)的定义域为2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z.(2)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．答案－1＋222，1解析设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝1－t22，且－2≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1，t∈[－2，2]．当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－1＋222.∴函数的值域为－1＋222，1.题型二三角函数的周期性与对称性1．下列函数中，是周期函数的为()A．y＝sin|x|B．y＝cos|x|C．y＝tan|x|D．y＝(x－1)0答案B解析∵cos|x|＝cosx，∴y＝cos|x|是周期函数．其余函数均不是周期函数．2．函数y＝sinx－π4的对称轴为__________________，对称中心为__________________．答案x＝3π4＋kπ，k∈Zπ4＋kπ，0，k∈Z解析由x－π4＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝3π4＋kπ，k∈Z，由x－π4＝kπ，k∈Z，得x＝π4＋kπ，k∈Z.故函数y＝sinx－π4的对称轴为x＝3π4＋kπ，k∈Z；对称中心为π4＋kπ，0，k∈Z.3．若函数f(x)＝2tankx＋π3的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为________．答案2或3解析由题意得1πk2，k∈N，∴π2kπ，k∈N，∴k＝2或3.4．若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件：①f(x)为偶函数；②对于任意的x∈R，都有fπ3－x＝fπ3＋x.则其解析式可以是f(x)＝________.(写出一个满足条件的解析式即可)答案cos3x(答案不唯一)解析因为对于任意的x∈R，都有fπ3－x＝fπ3＋x，所以函数的图象关于直线x＝π3对称．又由于函数为偶函数，所以函数的解析式可以为f(x)＝cos3x.因为f(－x)＝cos(－3x)＝cos3x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．令3x＝kπ，k∈Z，∴x＝kπ3，k∈Z，所以函数f(x)的图象关于直线x＝π3对称．思维升华(1)三角函数周期的一般求法①公式法；②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期．(2)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z))，求x即可．(3)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ2(k∈Z)，求x即可．题型三三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间例2(1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2上单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|答案A解析A中，函数f(x)＝|cos2x|的周期为π2，当x∈π4，π2时，2x∈π2，π，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin2x|的周期为π2，当x∈π4，π2时，2x∈π2，π，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cosx的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝sinx，x≥0，－sinx，x0，由正弦函数图象知，在x≥0和x0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.(2)函数f(x)＝sin－2x＋π3的单调递减区间为________．答案kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)解析f(x)＝sin－2x＋π3＝sin－2x－π3＝－sin2x－π3，由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故所求函数的单调递减区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．命题点2根据单调性求参数例3(2021·湖南师大附中月考)若函数f(x)＝23·sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx在区间－3π2，3π2上单调递增，则正数ω的最大值为()A.18B.16C.14D.13答案B解析方法一因为f(x)＝23sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx＝3sin2ωx＋1在区间－3π2，3π2上单调递增，所以－3ωπ≥－π2，3ωπ≤π2，解得ω≤16，所以正数ω的最大值是16.故选B.方法二易知f(x)＝3sin2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝πω，所以－π4ω≤－3π2，π4ω≥3π2，解得ω≤16.所以正数ω的最大值是16.故选B.思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练2(1)(2020·广东省七校联考)函数f(x)＝tanx2－π6的单调递增区间是()A.2kπ－2π3，2kπ＋4π3，k∈ZB.2kπ－2π3，2kπ＋4π3，k∈ZC.4kπ－2π3，4kπ＋4π3，k∈ZD.4kπ－2π3，4kπ＋4π3，k∈Z答案B解析由－π2＋kπx2－π6π2＋kπ，k∈Z，得2kπ－2π3x2kπ＋4π3，k∈Z，所以函数f(x)＝tanx2－π6的单调递增区间是2kπ－2π3，2kπ＋4π3，k∈Z，故选B.(2)(2021·河北省中原名校联盟联考)若函数f(x)＝3sinx＋π10－2在区间