【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第5章 §5.2　平面向量基本定理及坐标表示

§5.2平面向量基本定理及坐标表示考试要求1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1x2＝y1y2.(×)(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)题组二教材改编2．(多选)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是()A.AB→＝3AC→B.DA→＝－2CD→C.AC→＋BD→＝0D.BC→＝AD→答案ABC3．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．答案(1,5)解析设D(x，y)，则由AB→＝DC→，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即4＝5－x，1＝6－y，解得x＝1，y＝5.4.如图，OA→，OB→不共线，且AP→＝tAB→(t∈R)，用OA→，OB→表示OP→＝__________________.答案(1－t)OA→＋tOB→解析∵AP→＝tAB→，∴OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋tAB→＝OA→＋t(OB→－OA→)＝OA→＋tOB→－tOA→＝(1－t)OA→＋tOB→.题组三易错自纠5．(多选)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，其中可作为这一个平行四边形所在平面的一个基底的是()A.AD→，AB→B.DA→，BC→C.CA→，DC→D.OD→，OB→答案AC解析平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，对于A，AD→与AB→不共线，可作为基底；对于B，DA→与BC→为共线向量，不可作为基底；对于C，CA→与DC→是两个不共线的向量，可作为基底；对于D，OD→与OB→在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．6．(多选)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是()A．(4,8)B．(4，－8)C．(－4，－8)D．(－4,8)答案BD解析设b＝()x，y，依题意有x2＋y2＝412＋()－22，y＋2x＝0，解得x＝4，y＝－8或x＝－4，y＝8.题型一平面向量基本定理的应用例1(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD→＝2DC→，CE→＝3EA→，若AB→＝a，AC→＝b，则DE→等于()A.13a＋512bB.13a－1312bC．－13a－512bD．－13a＋1312b答案C解析DE→＝DC→＋CE→＝13BC→＋34CA→＝13(AC→－AB→)－34AC→＝－13AB→－512AC→＝－13a－512b.(2)(2021·郑州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若CG→＝λCD→＋μCB→(λ，μ∈R)，则λμ＝________.答案12解析由题图可设CG→＝xCE→(0x1)，则CG→＝x(CB→＋BE→)＝xCB→＋12CD→＝x2CD→＋xCB→.因为CG→＝λCD→＋μCB→，CD→与CB→不共线，所以λ＝x2，μ＝x，所以λμ＝12.思维升华(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．跟踪训练1如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将OB→分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.(1)用a和b表示向量OC→，DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．解(1)由题意知，A是BC的中点，且OD→＝23OB→，由平行四边形法则，得OB→＋OC→＝2OA→，所以OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，DC→＝OC→－OD→＝(2a－b)－23b＝2a－53b.(2)由题意知，EC→∥DC→，故设EC→＝xDC→.因为EC→＝OC→－OE→＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC→＝2a－53b.所以(2－λ)a－b＝x2a－53b.因为a与b不共线，所以由平面向量基本定理，得2－λ＝2x，－1＝－53x，解得x＝35，λ＝45.故λ＝45.题型二平面向量的坐标运算例2已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN→的坐标．解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)方法一∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.方法二∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，又∵a＝mb＋nc，∴mb＋nc＝－b－c，∴m＝－1，n＝－1.(3)设O为坐标原点，∵CM→＝OM→－OC→＝3c，∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b，∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴MN→＝(9，－18)．1．本例中条件不变，如何利用向量求线段AB中点的坐标？解设O为坐标原点，P(x，y)是线段AB的中点，则OP→＝12(OA→＋OB→)，即(x，y)＝12[(－2,4)＋(3，－1)]＝12，32，∴线段AB中点的坐标为12，32.2．本例中条件不变，如何利用向量求△ABC的重心G的坐标？解设AB的中点为P，O为坐标原点，∵CG→＝23CP→，∴OG→＝13OC→＋23OP→＝13OC→＋13(OA→＋OB→)，∴OG→＝13(OA→＋OB→＋OC→)＝13[(－2,4)＋(3，－1)＋(－3，－4)]＝－23，－13，∴重心G的坐标为－23，－13.思维升华向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．跟踪训练2(1)已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1,1)，C(2,3)，|BC→|＝2|AC→|，则向量OB→的坐标是________．答案(4,7)解析由点C是线段AB上一点，|BC→|＝2|AC→|，得BC→＝－2AC→.设点B为(x，y)，则(2－x,3－y)＝－2(1,2)，即2－x＝－2，3－y＝－4，解得x＝4，y＝7.所以向量OB→的坐标是(4,7)．(2)如图所示，以e1，e2为基底，则a＝________.答案－2e1＋e2解析以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则e1＝(1,0)，e2＝(－1,1)，a＝(－3,1)，令a＝xe1＋ye2，即(－3,1)＝x(1,0)＋y(－1,1)，则x－y＝－3，y＝1，所以x＝－2，y＝1，即a＝－2e1＋e2.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求参数例3(1)(2020·惠州调研)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b与b共线，则x的值为________．答案－2解析∵a＝(2,1)，b＝(x，－1)，∴a－b＝(2－x,2)，又∵a－b与b共线，∴(2－x)×(－1)－2x＝0，∴x＝－2.(2)(2018·全国Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.答案12解析由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以4λ－2＝0，即λ＝12.命题点2利用向量共线求向量或点的坐标例4在△ABC中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC交于点M，则点M的坐标为________．答案127，2解析因为点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，所以点C0，54，同理点D2，32.设M的坐标为(x，y)，则AM→＝(x，y－5)，而AD→＝2，－72，因为A，M，D三点共线，所以AM→与AD→共线，所以－72x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20，而CM→＝x，y－54，CB→＝4－0，3－54＝4，74，因为C，M，B三点共线，所以CM→与CB→共线，所以74x－4y－54＝0，即7x－16y＝－20，由7x＋4y＝20，7x－16y＝－20，得x＝127，y＝2，所以点M的坐标为127，2.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．跟踪训练3(2020·山东省文登二中模拟)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d的坐标．解(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－1613.(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝5，∴4x－4－2y－1＝0，x－42＋y－12＝5，解得x＝3，y＝－1或x＝5，y＝3.∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．课时精练1．在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB→的坐标是()A．(2,2)B．(－2，－2)C．(1,1)D．