【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 高考专题突破二　高考中的解三角形问题

高考专题突破二高考中的解三角形问题题型一利用正、余弦定理解三角形例1(10分)(2020·新高考全国Ⅰ)在①ac＝3，②csinA＝3，③c＝3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝3sinB，C＝π6，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．规范解答解方案一：选条件①.由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.[2分]由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，[6分]由此可得b＝c.[7分]由①ac＝3，解得a＝3，b＝c＝1.[9分]因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.[10分]方案二：选条件②.由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.[2分]由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，[6分]由此可得b＝c，B＝C＝π6，A＝2π3.[7分]由②csinA＝3，得c＝b＝23，a＝6.[9分]因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝23.[10分]方案三：选条件③.由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.[2分]由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，[6分]由此可得b＝c.[7分]由于③c＝3b，与b＝c矛盾．[9分]因此，选条件③时问题中的三角形不存在．[10分]第一步：根据C＝π6及余弦定理得出a，b，c的关系；第二步：根据条件sinA＝3sinB得出a，b的关系，从而得出b，c的关系；第三步：结合自然条件即可求出各边长；第四步：下结论，判断三角形解的情况．[高考改编题]在①cos2B－3sinB＋2＝0；②2bcosC＝2a－c；③ba＝cosB＋13sinA三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若________，且a，b，c成等差数列，则△ABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解选条件①.因为cos2B＝1－2sin2B，所以2sin2B＋3sinB－3＝0，即(2sinB－3)(sinB＋3)＝0，解得sinB＝－3(舍去)或sinB＝32.因为0Bπ，所以B＝π3或2π3.又因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以b不是三角形中最大的边，即B＝π3.由b2＝a2＋c2－2accosB，得a2＋c2－2ac＝0，即a＝c，从而a＝b＝c，故△ABC是等边三角形．选条件②.由正弦定理可得2sinBcosC＝2sinA－sinC，故2sinBcosC＝2sin(B＋C)－sinC，整理得2cosBsinC－sinC＝0.因为0Cπ，所以sinC0，即cosB＝12.因为0Bπ，所以B＝π3.又因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，可得a2＋c2－2ac＝0，即a＝c.故△ABC是等边三角形．选条件③.由正弦定理得sinBsinA＝cosB＋13sinA.因为sinA≠0，所以3sinB－cosB＝1，即sinB－π6＝12.因为0Bπ，所以－π6B－π65π6，即B－π6＝π6，可得B＝π3.又因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，可得a2＋c2－2ac＝0，即a＝c.故△ABC是等边三角形．跟踪训练1(2019·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC.解(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，因为0°A180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cosC＋12sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－22.由于0°C120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝6＋24.题型二平面几何中的解三角形问题例2(八省联考)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1.(1)若AB＝32，求BC；(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.解(1)在△ABD中，cos∠ABD＝12＋322－122×1×32＝34，因为AB∥CD，所以∠CDB＝∠ABD，所以cos∠CDB＝34，在△BDC中，BC2＝DC2＋DB2－2CD·DBcos∠CDB＝12＋12－2×34＝12，所以BC＝22.(2)设BC＝x，则AB＝2x，所以cos∠ABD＝12＋2x2－124x＝x，cos∠CDB＝12＋12－x22＝1－12x2，因为AB∥CD，所以∠CDB＝∠ABD，故x＝1－12x2，x2＋2x＝2，又x0，所以x＝3－1，所以cos∠BDC＝cos∠ABD＝3－1.思维升华平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．跟踪训练2(2020·河南、河北重点中学联考)如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2,2ccosC＝b，D，E均为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.(1)求线段AD的长；(2)求△ADE的面积．解(1)因为c＝4，b＝2,2ccosC＝b，所以cosC＝b2c＝14.由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋4－164a＝14，所以a＝4，即BC＝4.在△ACD中，CD＝2，AC＝2，所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cosC＝6，所以AD＝6.(2)因为AE是∠BAC的平分线，所以S△ABES△ACE＝12AB·AE·sin∠BAE12AC·AE·sin∠CAE＝ABAC＝2，又S△ABES△ACE＝BEEC，所以BEEC＝2，所以CE＝13BC＝43，DE＝DC－EC＝2－43＝23.又因为cosC＝14，所以sinC＝1－cos2C＝154.所以S△ADE＝S△ACD－S△ACE＝12AC·CDsinC－12AC·ECsinC＝12AC·(CD－EC)sinC＝12DE·ACsinC＝156.即△ADE的面积为156.题型三解三角形中的最值与范围问题例3(2020·湖北七市联考)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosAa＋cosBb＝23sinC3a.(1)求角B的大小；(2)若b＝23，求a＋c的取值范围．解(1)由已知条件，得bcosA＋acosB＝233bsinC.由正弦定理，得sinBcosA＋cosBsinA＝233sinBsinC，即sin(A＋B)＝233sinBsinC.又在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC≠0，所以sinB＝32.因为B是锐角，所以B＝π3.(2)由正弦定理，得asinA＝csinC＝bsinB＝2332＝4，则a＝4sinA，c＝4sinC.所以a＋c＝4sinA＋4sinC＝4sinA＋4sin2π3－A＝6sinA＋23cosA＝43sinA＋π6.由0Aπ2，02π3－Aπ2，得π6Aπ2，所以π3A＋π62π3，所以32sinA＋π6≤1，所以6a＋c≤43.故a＋c的取值范围为(6,43]．思维升华本题涉及求边的取值范围，一般思路是(1)利用正弦定理把边转化为角，利用三角函数的性质求出范围或最值．(2)利用正、余弦定理把角转化为边，利用不等式求出范围或最值．跟踪训练3给出两个条件：①2c－3b＝2acosB；②(2b－3c)cosA＝3acosC，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．(选出一种可行的条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边．(1)求A；(2)若a＝3－1，求△ABC面积的最大值．解(1)选①2c－3b＝2acosB，由正弦定理可得，2sinC－3sinB＝2sinAcosB，即2sin()A＋B－3sinB＝2sinAcosB，∴2cosAsinB＝3sinB，∵B∈()0，π，∴sinB≠0，∴2cosA＝3，即cosA＝32，又A∈()0，π，∴A＝π6.选②()2b－3ccosA＝3acosC，由正弦定理可得，()2sinB－3sinCcosA＝3sinAcosC，∴2sinBcosA＝3sin()A＋C＝3sinB，∵B∈()0，π，∴sinB≠0，∴cosA＝32，又A∈()0，π，∴A＝π6.(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－3bc，又b2＋c2≥2bc，当且仅当“b＝c”时取“＝”，∴a2≥()2－3bc，即()3－12≥()2－3bc，∴bc≤2，∴S△ABC＝12bcsinA＝14bc≤12，∴△ABC的面积的最大值为12.课时精练1．(2020·兰州模拟)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB＋bcosA＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝25，b＝2，求边c的长．解(1)因为asinB＋bcosA＝0，所以sinAsinB＋sinBcosA＝0，即sinB(sinA＋cosA)＝0，由于B为三角形的内角，所以sinA＋cosA＝0，所以2sinA＋π4＝0，而A为三角形的内角，所以A＝3π4.(2)在△ABC中，a2＝c2＋b2－2cbcosA，即20＝c2＋4－4c－22，解得c＝－42(舍去)或c＝22.2．(2020·全国Ⅱ)在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．解(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA．②由①②得cosA＝－12.因为0Aπ，所以A＝2π3.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB＝ABsinC＝BCsinA＝23，从而AC＝23sinB，AB＝23sin(π－A－B)＝3cosB－3sinB.故BC＋AC＋AB＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋23sinB＋π3.又0Bπ3，所以当B＝π6时，△ABC的周长取得最大值，为3＋23.3．在①ba＝cosB＋13sinA；②2bsinA＝atanB；③(a－c)sinA＋csin(A＋B)＝bsinB这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若________．(1)求角B；(2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积．解(1)选①，由正弦定理得sinBsinA＝cosB＋13sinA，∵sinA≠0，∴3sinB－cosB＝1，即sinB－π6＝12，∵0Bπ，∴－π6B－π65π6，∴B－π6＝π6，∴B＝π3.选②，∵2bsinA＝atanB,2bsinA＝asinBcosB，∴由正弦定理可得，2sinBsinA＝sinA·sinBcosB，∵sinA≠0，且sinB≠0，∴cosB＝12，∵B∈()0，π，∴B＝π3.选③，∵sin()A＋B＝sin()π－C＝sinC，由已知结合正弦定理可得，()a－ca＋c2＝b2，∴a2＋c2－b2＝ac，∴