【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第5章 §5.3　平面向量的数量积

§5.3平面向量的数量积考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论符号表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22微思考1．两个向量的数量积大于0(或小于0)，则夹角一定为锐角(或钝角)吗？提示不一定．当夹角为0°(或180°)时，数量积也大于0(或小于0)．2．平面向量数量积运算常用结论有哪些？提示(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.a与b同向时，a·b＝|a||b|.a与b反向时，a·b＝－|a||b|.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.(×)(2)向量在另一个向量上的投影为数量，而不是向量．(√)(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√)(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(×)题组二教材改编2．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，则a与b的夹角θ等于()A.π6B.5π6C.π3D.2π3答案B解析cosθ＝a·b|a||b|＝－632×6＝－32，又因为0≤θ≤π，所以θ＝5π6.3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝23，a与b的夹角的余弦值为sin17π3，则b·(2a－b)等于()A．2B．－1C．－6D．－18答案D解析由题意知cos〈a，b〉＝sin17π3＝sin6π－π3＝－sinπ3＝－32，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×23×－32＝－3，所以b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.4．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．答案－2解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.题组三易错自纠5．已知a，b为非零向量，则“a·b0”是“a与b的夹角为锐角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析根据向量数量积的定义可知，若a·b0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b0，所以“a·b0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．6．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则BA→·AC→的值为________．答案－32解析在△ABC中，由余弦定理得cosA＝AC2＋AB2－BC22×AC×AB＝22＋32－1022×2×3＝14.所以BA→·AC→＝|BA→||AC→|cos(π－A)＝－|BA→||AC→|·cosA＝－3×2×14＝－32.题型一平面向量数量积的简单应用命题点1平面向量的模例1(2020·全国Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.答案3解析将|a＋b|＝1两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝1.∵a2＝b2＝1，∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1.∴|a－b|＝a－b2＝a2－2a·b＋b2＝1－－1＋1＝3.命题点2平面向量的夹角例2(2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉等于()A．－3135B．－1935C.1735D.1935答案D解析∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝a·a＋b|a||a＋b|＝a2＋a·b|a||a＋b|＝25－65×7＝1935.命题点3平面向量的垂直例3(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.答案22解析由题意知(ka－b)·a＝0，即ka2－b·a＝0.因为a，b为单位向量，且夹角为45°，所以k×12－1×1×22＝0，解得k＝22.思维升华(1)求解平面向量模的方法①若a＝(x，y)，利用公式|a|＝x2＋y2.②利用|a|＝a2.(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ＝a·b|a||b|，θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．跟踪训练1(1)(2020·唐山模拟)已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝3，则|e1－e2|＝________.答案1解析方法一由|e1＋e2|＝3，两边平方，得e21＋2e1·e2＋e22＝3.又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝e21－2e1·e2＋e22＝1，所以|e1－e2|＝1.方法二如图，设AB→＝e1，AD→＝e2，又e1，e2是单位向量，所以|AB→|＝|AD→|＝1，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，BD，所以AC→＝e1＋e2，DB→＝e1－e2，因为|e1＋e2|＝3，即|AC→|＝3，所以∠ABC＝120°，则∠DAB＝60°，所以|DB→|＝1，即|e1－e2|＝1.(2)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案B解析设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cosα＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3，故选B.(3)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为()A.2215B.103C．6D.127答案A解析因为AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，所以有AP→·BC→＝(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝λAB→·AC→－λAB→2＋AC→2－AB→·AC→＝(λ－1)AB→·AC→－λAB→2＋AC→2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos120°－9λ＋16＝0，解得λ＝2215.题型二平面向量数量积的综合运算例4(1)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP→·AB→的取值范围是()A．(－2,6)B．(－6,2)C．(－2,4)D．(－4,6)答案A解析如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，3)，F(－1，3)．设P(x，y)，则AP→＝(x，y)，AB→＝(2,0)，且－1x3.所以AP→·AB→＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．[高考改编题]已知P是边长为2的正方形ABCD内的一点，则AP→·AB→的取值范围是______．答案(0,4)解析如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，设P(x，y)，则AP→＝(x，y)，AB→＝(2,0)，且0x2.所以AP→·AB→＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(0,4)．(2)(2019·天津)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD→·AE→＝________.答案－1解析方法一在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则BD→·AE→＝(AD→－AB→)·(AB→＋BE→)＝AD→·AB→＋AD→·BE→－AB→2－AB→·BE→＝5×23×cos30°＋5×2×cos180°－12－23×2×cos150°＝15－10－12＋6＝－1.方法二在△ABD中，由余弦定理可得BD＝AD2＋AB2－2×AD×AB×cos∠BAD＝7，所以cos∠ABD＝AB2＋BD2－AD22×AB×BD＝－2114，则sin∠ABD＝5714.设BD→与AE→的夹角为θ，则cosθ＝cos(180°－∠ABD＋30°)＝－cos(∠ABD－30°)＝－cos∠ABD·cos30°－sin∠ABD·sin30°＝－714，在△ABE中，易得AE＝BE＝2，故BD→·AE→＝7×2×－714＝－1.思维升华向量数量积综合应用的方法和思想(1)坐标法．把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法．适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用．跟踪训练2(1)(2019·全国Ⅱ)已知AB→＝(2,3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→等于()A．－3B．－2C．2D．3答案C解析因为BC→＝AC→－AB→＝(1，t－3)，所以|BC→|＝1＋t－32＝1，解得t＝3，所以BC→＝(1,0)，所以AB→·BC→＝2×1＋3×0＝2，故选C.(2)(2020·湖南省五市十校联考)在Rt△ABC中，∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，若AD→＝32AB→，则CD→·CB→等于()A．－18B．－63C．18D．63答案C解析方法一由∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，得CB＝23，CA→·CB→＝0.CD→·CB→＝(CA→＋AD→)·CB→＝CA→·CB→＋32AB→·CB→＝32(CB→－CA→)·CB→＝32CB→2＝18，故选C.方法二如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则C(0,0)，A(2,0)，B(0,23)．由题意得∠CBA＝π6，又AD→＝32AB→，所以D＝(－1,33)，则CD→·CB→＝(－1,33)·(0,23)＝18，故选C.方法三因为∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，所以CB＝23，所以AB→在CB→上的投影为23，又AD→＝32AB→，所以AD→在CB→上的投影为32×23＝33，则CD→在CB→上的投影为33，所以CD→·CB→＝|CB→|·|CD→|cos〈CD→，CB→〉＝23×33＝18，故选C.题型三平面向量的实际应用命题点1平面几何中的向量方法例5已知平行四边形ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．证明取AB→，AD→为基底，设AB→＝a，AD→＝b，则AC→＝a＋b，DB→＝a－b，∴AC→2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，DB→2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上面两式相加，得AC→2＋DB→2＝2(a