【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第5章 强化训练5　平面向量中的综合问题

强化训练5平面向量中的综合问题1．(2021·甘肃诊断)已知平面向量a，b满足a＝(1，－2)，b＝(－3，t)，且a⊥(a＋b)，则|b|等于()A．3B.10C．23D．5答案B解析a＋b＝(1，－2)＋(－3，t)＝(－2，t－2)，由于a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝0，即1×(－2)＋(－2)×(t－2)＝0，解得t＝1，所以b＝(－3,1)，|b|＝10.2．(2021·常德模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC的中点，则AE→等于()A.12AB→＋12AD→B.34AB→＋AD→C.34AB→＋12AD→D.32AB→＋12AD→答案C解析设F为AB的中点，连接DF，如图，∵AB∥CD，AB＝2CD，∴BF∥CD，且BF＝CD，∴四边形BFDC为平行四边形，∴FD→＝BC→，∴AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋12BC→＝AB→＋12FD→＝AB→＋12(FA→＋AD→)＝AB→＋12－12AB→＋AD→＝34AB→＋12AD→.3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，且a⊥(a＋2b)，则b在a方向上的投影为()A．－12B．－1C.12D．1答案B解析因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，a·b＝－2，所以b在a方向上的投影为a·b|a|＝－22＝－1.4．(2020·河北“五个一”名校联考)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是()A.π6B.π2C.2π3D.5π6答案C解析将|a＋b|＝|a－b|＝2|a|平方得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2＝4a2，解得a·b＝0，b2＝3a2，cos〈a＋b，a－b〉＝a2－b24a2＝－12，所以向量a＋b与a－b的夹角是2π3.5．(多选)已知在边长为2的等边△ABC中，向量a，b满足AB→＝a，BC→＝a＋b，则下列式子正确的是()A．|2a＋b|＝2B．|b|＝23C．a·(a＋b)＝2D．a·b＝－6答案ABD解析AC→＝AB→＋BC→＝2a＋b，则|2a＋b|＝|AC→|＝2，A正确；a·(a＋b)＝AB→·BC→＝－2，C错误；a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝－2，则a·b＝－6，D正确；又|a＋b|＝2，两边平方得|a|2＋2a·b＋|b|2＝4，则|b|＝23，B正确．6．(多选)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的值可能为()A.2－1B．1C.2D．2答案AB解析因为a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，所以a·b－c·(a＋b)＋c2≤0，所以c·(a＋b)≥1，而|a＋b－c|＝a＋b－c2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2c·a＋b≤3－2＝1，所以选项C，D不正确，故选AB.7．(2020·泰安模拟)已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(2m，m＋1)．若AB→∥OC→，则实数m的值为________．答案－3解析因为AB→∥OC→，AB→＝OB→－OA→＝(3,1)，所以3×(m＋1)＝2m，所以m＝－3.8．已知a＝(2＋λ，1)，b＝(3，λ)，若a与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是________．答案λ－32且λ≠－3解析由题意得，a·b0且a与b不共线，即3(2＋λ)＋λ0且(2＋λ)λ≠3，解得λ－32且λ≠－3.9．已知|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，点C在∠AOB内，且OC→与OA→的夹角为30°，设OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则mn的值为________．答案3解析如图所示，建立直角坐标系．由已知|OA→|＝1，|OB→|＝3，则OA→＝(1,0)，OB→＝(0，3)，∴OC→＝mOA→＋nOB→＝(m，3n)，∴tan30°＝3nm＝33，∴mn＝3.10．已知△ABC的重心为G，AD→＝λAB→，AE→＝μAC→，其中λ0，μ≤1，且D，G，E共线，则1λ＋1μ＝________.答案3解析∵△ABC的重心为G，∴AG＝13(AB→＋AC→)，∵D，G，E共线，则存在实数m，使得AG→＝mAD→＋(1－m)AE→，∴13AB→＋13AC→＝mAD→＋(1－m)AE→＝λmAB→＋μ(1－m)AC→，∴λm＝13，μ1－m＝13，解得m＝13λ＝1－13μ，∴1λ＋1μ＝3.11．已知向量a，b的夹角为60°，且a＝(1,0)．(1)若|b|＝2，求b的坐标；(2)若(a＋b)⊥(a－b)，求|a－2b|的值．解(1)设b＝(x，y)，因为向量a，b的夹角为60°，且a＝(1,0)，|b|＝2.所以cos〈a，b〉＝cos60°＝a·b|a||b|＝x2＝12，解得x＝1，所以|b|＝2＝x2＋y2＝1＋y2，解得y＝±3，所以b＝(1，±3)．(2)因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0，由于a＝(1,0)，所以|a|＝|b|＝1，所以|a－2b|＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4a·b＝1＋4－4×1×1×12＝3.12.如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD→＝λBC→，AD→·AB→＝－32.(1)求实数λ的值；(2)若M，N是线段BC上的动点，且|MN→|＝1，求DM→·DN→的最小值．解(1)∵AD→＝λBC→，∴AD∥BC，∵∠B＝60°，∴∠DAB＝120°，∴AD→·AB→＝6λ×3×cos120°＝－32，∴λ＝16.(2)如图，过点A作AO⊥BC，垂足为O，则OB＝12AB＝32，OC＝92，AO＝332，以O为原点，以BC，OA所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则D1，332，设M(x,0)，N(x＋1,0)，－32≤x≤72，∴DM→＝x－1，－332，DN→＝x，－332，∴DM→·DN→＝x2－x＋274＝x－122＋132，∴当x＝12时，DM→·DN→取得最小值132.13．已知非零向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝－12，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．三边均不相等的三角形C．等腰非等边三角形D．直角三角形答案C解析注意到AB→|AB→|表示与AB→同向的单位向量，AC→|AC→|表示与AC→同向的单位向量，所以AB→|AB→|＋AC→|AC→|表示以与AB→同向的单位向量和与AC→同向的单位向量为邻边的平行四边形的对角线，因为AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，所以|AB→|＝|AC→|，由AB→|AB→|·AC→|AC→|＝－12可以得出AB→与AC→的夹角为120°，所以△ABC为等腰非等边三角形．14．已知O是正三角形ABC内部的一点，OA→＋2OB→＋3OC→＝0，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是()A.32B.23C．2D．1答案B解析如图所示，D，E分别是BC，AC的中点，由OA→＋2OB→＋3OC→＝0得OA→＋OC→＝－2(OB→＋OC→)，即OE→＝－2OD→，所以OE＝2OD，设正三角形的边长为23a，则△OAC底边AC上的高为hAC＝13BE＝a，△OAB底边AB上的高为hAB＝12BE＝32a，所以S△OACS△OAB＝12AC·hAC12AB·hAB＝23a×a23a×32a＝23.15．已知三个向量a，b，c共面，且均为单位向量，a·b＝0，则|a＋b－c|的取值范围是()A．[2－1，2＋1]B．[1，2]C．[2，3]D．[2－1,1]答案A解析因为a·b＝0，所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2，所以|a＋b|＝2，所以|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2(a＋b)·c＝3－2(a＋b)·c，则当c与(a＋b)同向时，(a＋b)·c最大，|a＋b－c|2最小，此时(a＋b)·c＝|a＋b||c|cos0°＝2，|a＋b－c|2＝3－22，所以|a＋b－c|min＝2－1；当c与(a＋b)反向时，(a＋b)·c最小，|a＋b－c|2最大，此时(a＋b)·c＝|a＋b||c|cosπ＝－2，|a＋b－c|2＝3＋22，所以|a＋b－c|max＝2＋1，所以|a＋b－c|的取值范围为[2－1，2＋1]．16．在△ABC中，设BC→·CA→＝CA→·AB→.(1)求证：△ABC为等腰三角形；(2)若|BA→＋BC→|＝2且B∈π3，2π3，求BA→·BC→的取值范围．(1)证明因为BC→·CA→＝CA→·AB→，所以CA→·(BC→－AB→)＝0，因为AB→＋BC→＋CA→＝0，所以CA→＝－(AB→＋BC→)，所以－(AB→＋BC→)·(BC→－AB→)＝0，所以AB→2－BC→2＝0，所以|AB→|＝|BC→|，故△ABC为等腰三角形．(2)解因为B∈π3，2π3，所以cosB∈－12，12，设|AB→|＝|BC→|＝a，因为|BA→＋BC→|＝2，所以|BA→＋BC→|2＝4，所以a2＋a2＋2a2cosB＝4，所以a2＝21＋cosB，所以BA→·BC→＝|BA→||BC→|cosB＝a2cosB＝2cosB1＋cosB＝2－21＋cosB，又－12≤cosB≤12，所以－2≤2－21＋cosB≤23，即BA→·BC→∈－2，23.