【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第6章 §6.1　数列的概念与简单表示法

§6.1数列的概念与简单表示法考试要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的有关概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．若已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.(3)数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．2．数列与函数数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}．3．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间递增数列an＋1an其中的大小关系递减数列an＋1ann∈N*常数列an＋1＝an4.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．微思考1．数列的项与项数是一个概念吗？提示不是．数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列作为一种特殊函数，特殊性体现在什么地方？提示体现在定义域上，数列的定义域是正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)数列的通项公式是唯一的．(×)(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．(×)(3)2,2,2,2，…，不能构成一个数列．(×)(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(√)题组二教材改编2．数列13，18，115，124，135，…的通项公式是an＝________.答案an＝1nn＋2，n∈N*3．已知数列a1＝2，an＝1－1an－1(n≥2)．则a2022＝________.答案－1解析a1＝2，a2＝1－12＝12，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2，所以数列{an}满足an＝an＋3，所以a2022＝a3＝－1.4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－λn＋1，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．答案(－∞，3)解析由题意得an＋1an，即(n＋1)2－λ(n＋1)＋1n2－λn＋1.化简得，λ2n＋1，n∈N*，∴λ3.题组三易错自纠5．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋1，则{an}的通项公式为an＝________.答案－1，n＝1，－4n＋2，n≥2n∈N*解析当n＝1时，a1＝S1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋1＋2(n－1)2－1＝－4n＋2，a1＝－1不适合上式，所以an＝－1，n＝1，－4n＋2，n≥2，n∈N*.6．若an＝－n2＋9n＋10，则当数列{an}的前n项和Sn最大时，n的值为________．答案9或10解析要使Sn最大，只需要数列中正数的项相加即可，即需an0，－n2＋9n＋100，得－1n10，又n∈N*，所以1≤n10.又a10＝0，所以n＝9或10.题型一由an与Sn的关系求通项公式1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________.答案2n＋1解析当n＝1时，a1＝S1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.由于a1＝3适合上式，∴an＝2n＋1.2．已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.答案－2n－1解析当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.当n≥2时，Sn＝2an＋1，①Sn－1＝2an－1＋1.②①－②，Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首项a1＝－1，q＝2的等比数列．∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.3．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________.答案2，n＝1，2n－12n－1，n≥2解析当n＝1时，a1＝21＝2.∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①∴a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1(n≥2)，②由①－②得，(2n－1)·an＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝2n－12n－1(n≥2)．显然n＝1时不满足上式，∴an＝2，n＝1，2n－12n－1，n≥2.4．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是_______．①an＝1nn－1②an＝－1，n＝1，1nn－1，n≥2③Sn＝－1n④数列1Sn是等差数列答案②③④解析∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得1Sn＋1－1Sn＝－1.∴1Sn是以－1为首项，d＝－1的等差数列，即1Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－1n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－1n＋1n－1＝1nn－1，又a1＝－1不适合上式，∴an＝－1，n＝1，1nn－1，n≥2.思维升华(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2转化为关于an的关系式，再求通项公式．(2)Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．题型二由数列的递推关系式求通项公式命题点1累加法例1在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n，则an等于()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn答案A解析因为an＋1－an＝lnn＋1n＝ln(n＋1)－lnn，所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，……an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2)，把以上各式分别相加得an－a1＝lnn－ln1，则an＝2＋lnn(n≥2)，且a1＝2也适合，因此an＝2＋lnn(n∈N*)．命题点2累乘法例2已知数列{an}的前n项和为Sn，其首项a1＝1，且满足3Sn＝(n＋2)an，则an＝______.答案nn＋12解析∵3Sn＝(n＋2)an，①3Sn－1＝(n＋1)an－1(n≥2)，②由①－②得，3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，即anan－1＝n＋1n－1，∴an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a2a1·a1＝n＋1n－1×nn－2×n－1n－3×…×31×1＝nn＋12.当n＝1时，满足an＝nn＋12，∴an＝nn＋12.本例2中，若{an}满足2(n＋1)·a2n＋(n＋2)·an·an＋1－n·a2n＋1＝0，且an0，a1＝1，则an＝____________.答案n·2n－1解析由2(n＋1)·a2n＋(n＋2)·an·an＋1－n·a2n＋1＝0得n(2a2n＋an·an＋1－a2n＋1)＋2an(an＋an＋1)＝0，∴n(an＋an＋1)(2an－an＋1)＋2an(an＋an＋1)＝0，(an＋an＋1)[(2an－an＋1)·n＋2an]＝0，又an0，∴2n·an＋2an－n·an＋1＝0，∴an＋1an＝2n＋1n，又a1＝1，∴当n≥2时，an＝anan－1·an－1an－2·…·a3a2·a2a1·a1＝2nn－1×2n－1n－2×2n－2n－3×…×2×32×2×21×1＝2n－1·n.又n＝1时，a1＝1适合上式，∴an＝n·2n－1.思维升华(1)根据形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式．(2)根据形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出ana1与n的关系式，进而得到an的通项公式．跟踪训练1(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋1nn＋1，则通项公式an＝________.答案4－1n解析∵an＋1－an＝1nn＋1＝1n－1n＋1，∴当n≥2时，an－an－1＝1n－1－1n，an－1－an－2＝1n－2－1n－1，……a2－a1＝1－12，∴以上各式相加得，an－a1＝1－1n，∴an＝4－1n，a1＝3适合上式，∴an＝4－1n.(2)已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.答案2222nn解析∵an＋1an＝2n，∴当n≥2时，anan－1＝2n－1，an－1an－2＝2n－2，……a3a2＝22，a2a1＝2，∴an＝anan－1·an－1an－2·…·a3a2·a2a1·a1＝2n－1·2n－2·…·22·2·2＝21＋2＋3＋…＋(n－1)·22(1)212222,nnnn，又a1＝2满足上式，∴an＝2222nn.题型三数列的性质命题点1数列的单调性例3已知数列{an}的通项公式为an＝3n＋k2n，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为()A．(3，＋∞)B．(2，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)答案D解析(单调性)因为an＋1－an＝3n＋3＋k2n＋1－3n＋k2n＝3－3n－k2n＋1，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝3－3n－k2n＋10，所以k3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．思维升华解决数列的单调性问题的三种方法(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．(2)用作商比较法，根据an＋1an(an0或an0)与1的大小关系进行判断．(3)函数法．命题点2数列的周期性例4(2021·广元联考)已知数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则{bn}的前2022项的和为()A．0B．1C．－5D．－1答案A解析∵bn＋2＝bn＋1－bn，b1＝1，b2＝－2，∴b3＝b2－b1＝－2－1＝－3，b4＝b3－b2＝－1，b5＝b4－b3＝－1－(－3)＝2，b6＝b5－b4＝2－(－1)＝3，b7＝b6－b5＝3－2＝1.∴{bn}是周期为6的周期数列，且S6＝1－2－3－1＋2＋3＝0.∴S2022＝S337×6＝0.思维升华解决数列周期性问题根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．命题点3数列的最值例5已知数列{an}满足a1＝28，an＋1－ann＝2，则ann的最小值为()A.293B．47－1C.485D.274答案C解析由an＋1－an＝2n，可得an＝n2－n＋28，∴ann＝n＋28n－1，设f(x)＝x＋28x，可知f(x)在(0，28]上单调递减，在(28，＋∞)上单调递增，又n∈N*，且a55＝485a66＝293，故选C.思维升华求数列的最大项与最小项的常用方法(1)函数法，利用函数求最值．(2)利用an≥an－1，an≥an＋1(n≥2)确定最大项，利用an≤an－1，an≤an＋1(n≥2)确定最小项．(3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)0