【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第6章 §6.2　等差数列及其前n项和

§6.2等差数列及其前n项和考试要求1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．(2)等差中项若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝a＋b2.2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋nn－12d或Sn＝na1＋an2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，Snn为等差数列．微思考1．等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？提示不一定．当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数．2．若数列的前n项和为Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，则这个数列一定是等差数列吗？提示不一定．当C＝0时是等差数列.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(√)(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(√)(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(√)题组二教材改编2．已知在等差数列{an}中，a2＝－3，a3＝－5，则a9＝________.答案－17解析d＝a3－a2＝－2，∴a9＝a3＋6d＝－5＋6×(－2)＝－17.3．已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则d＝________.答案2解析∵a4＋a8＝20，∴a1＋3d＋a1＋7d＝20，即a1＋5d＝10，①a7＝a1＋6d＝12，②②－①得d＝2.4．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝________.答案126解析由已知可得a1＋2d＝2，2a1＋5d＝10，解得a1＝－10，d＝6.∴S9＝9a1＋9×82d＝－90＋36×6＝126.题组三易错自纠5．(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6＝S7S8，则下列结论正确的是()A．d0B．a7＝0C．S9S5D．S6与S7均为Sn的最大值答案ABD解析S6＝S5＋a6S5，则a60，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a60，S8＝S7＋a8S7，a80，则a90，又a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0，∴S5S9，由a7＝0，a60知S6，S7是Sn中的最大值．从而ABD均正确．6．在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d0，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________．答案5或6解析∵|a3|＝|a9|，∴|a1＋2d|＝|a1＋8d|，可得a1＝－5d，∴a6＝a1＋5d＝0，且a10，∴a50，故Sn取最大值时n的值为5或6.题型一等差数列基本量的运算1．(多选)(2019·全国Ⅰ改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是()A．a2＋a3＝0B．an＝2n－5C．Sn＝n(n－4)D．d＝－2答案ABC解析S4＝4×a1＋a42＝0，∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；a5＝a1＋4d＝5，①a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②联立①②得d＝2，a1＝－3，∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；Sn＝－3n＋nn－12×2＝n2－4n，C正确，故选ABC.2．(2020·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.答案25解析设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2.因为a1＝－2，所以d＝1.所以S10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.3．(2020·上海)已知{an}是公差不为零的等差数列，且a1＋a10＝a9，则a1＋a2＋…＋a9a10＝________.答案278解析∵a1＋a10＝a9，∴a1＋a1＋9d＝a1＋8d，即a1＝－d，∴a1＋a2＋…＋a9＝S9＝9a1＋9×82d＝27d，a10＝a1＋9d＝8d，∴a1＋a2＋…＋a9a10＝278.4．(2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．答案3n2－2n解析方法一(观察归纳法)数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.故前n项和为Sn＝na1＋an2＝n1＋6n－52＝3n2－2n.方法二(引入参变量法)令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数．令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…)．at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.以下同方法一．思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.题型二等差数列的判定与证明例1(2020·烟台模拟)已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)．(1)记bn＝log2(an＋1)，判断{bn}是否为等差数列，并说明理由；(2)求数列{an}的通项公式．解(1){bn}是等差数列，理由如下：b1＝log2(a1＋1)＝log22＝1，当n≥2时，bn－bn－1＝log2(an＋1)－log2(an－1＋1)＝log2an＋1an－1＋1＝log22an－1＋2an－1＋1＝1，∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知，bn＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＋1＝2nb＝2n，∴an＝2n－1.若本例中已知条件改为“a1＝2，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)．”试判断ann＋1是否为等差数列，并说明理由．解数列ann＋1为等差数列，理由如下：由已知得，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n＋2)(n＋1)，即ann＋1＝an＋1n＋2－2，∴an＋1n＋2－ann＋1＝2，首项为a11＋1＝1，∴ann＋1是以1为首项，公差d＝2的等差数列．思维升华判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．跟踪训练1记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，且当n≥2时，an·(2Sn－1)＝2S2n.(1)证明：数列1Sn是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明当n≥2时，an·(2Sn－1)＝2S2n，即(Sn－Sn－1)·(2Sn－1)＝2S2n，即2S2n－Sn－2Sn·Sn－1＋Sn－1＝2S2n，故－Sn＋Sn－1＝2Sn·Sn－1，故1Sn－1Sn－1＝2，易知1S1＝1a1＝1，故1Sn是首项为1，公差为2的等差数列．(2)解由(1)可知，1Sn＝2n－1，故Sn＝12n－1，所以an＝Sn－Sn－1＝12n－1－12n－3＝－22n－12n－3(n≥2)，当n＝1时，上式不成立，所以an＝1，n＝1，－22n－12n－3，n≥2.题型三等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质例2(1)(2021·淄博模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于()A．72B．36C．18D．9答案B解析∵a6＋a4＝2a5，∴a5＝4，∴S9＝9a1＋a92＝9a5＝36.(2)(2020·临沂质检)在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－12a8的值为()A．4B．6C．8D．10答案C解析∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，又a6＋a8＝2a7，∴a7＝12a6＋12a8，即a7－12a8＝12a6＝8，选C.命题点2等差数列和的性质例3(1)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2020，S20202020－S20142014＝6，则S2023等于()A．2023B．－2023C．4046D．－4046答案C解析∵Snn为等差数列，设公差为d′，则S20202020－S20142014＝6d′＝6，∴d′＝1，首项为S11＝－2020，∴S20232023＝－2020＋(2023－1)×1＝2，∴S2023＝2023×2＝4046，故选C.(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块答案C解析设每一层有n环，由题意可知，从内到外每环之间构成公差为d＝9，首项为a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，解得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋27×262×9＝3402(块)．思维升华一般地，运用等差数列的性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，等差数列的性质是解题的重要工具．跟踪训练2(1)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有SnTn＝2n－13n－2，则a11b6＋b10＋a5b7＋b9的值为________．答案2943解析a11b6＋b10＋a5b7＋b9＝a11＋a52b8＝2a82b8＝a8b8，∴a8b8＝S2×8－1T2×8－1＝S15T15＝2×15－13×15－2＝2943.(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S6＝1，S12＝4，则S18＝________.答案9解析在等差数列中，S6，S12－S6，S18－S12成等差数列，∵S6＝1，S12＝4，∴1,3，S18－4成公差为2的等差数列，即S18－4＝5，∴S18＝9.课时精练1．已知{an}是等差数列，且a2＋a5＋a8＋a11＝48，则a6＋a7等于()A．12B．16C．20D．24答案D解析由等差数列的性质可得a2＋a5＋a8＋a11＝2(a6