【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第6章 §6.3　等比数列及其前n项和

§6.3等比数列及其前n项和考试要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－q，q≠1.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．(2)对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at.特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a2p.(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.(5)若a10，q1或a10，0q1，则等比数列{an}递增．若a10，0q1或a10，q1，则等比数列{an}递减．微思考1．若数列{an}满足an＋1＝qan(q≠0)，则{an}一定是等比数列吗？提示不一定．需验证a1≠0.2．若数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}是等比数列吗？提示不一定．当q＝－1时不是等比数列．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列{an}的公比q1，则该数列单调递增．(×)(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(×)(3)如果正项数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(√)(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a.(×)题组二教材改编2．已知等比数列的首项为－1，前n项和为Sn，若S10－S5S5＝132，则q的值为()A．－12B.12C．2D．－2答案B解析当q＝1时，S10－S5S5＝1≠132，∴q≠1.当q≠1时，S10－S5S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝q5＝132，∴q＝12.故选B.3．已知数列{an}为等比数列，a2＝6,6a1＋a3＝30，则a4＝________.答案54或24解析由a1·q＝6，6a1＋a1·q2＝30，解得q＝3，a1＝2或q＝2，a1＝3，a4＝a1·q3＝2×33＝54或a4＝3×23＝3×8＝24.4．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为_______．答案1,3,9或9,3,1解析设这三个数为aq，a，aq，则a＋aq＋aq＝13，a·aq·aq＝27，解得a＝3，q＝13或a＝3，q＝3，∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题组三易错自纠5．(多选)若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是()A．若a10,0q1，则{an}为递减数列B．若a10,0q1，则{an}为递增数列C．若q0，则S4＋S62S5D．若bn＝1an，则{bn}是等比数列答案ABD解析A，B显然是正确的；C中，若a1＝1，q＝12，则a6a5，即S6－S5S5－S4，故C错误；D中，bn＋1bn＝anan＋1＝1q(q≠0)，∴{bn}是等比数列．故选ABD.6．已知在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5等于()A．－2B．±2C．2D．±12答案C解析∵a2·a3·a4＝1，∴a3＝1，∵a6·a7·a8＝64，∴a7＝4，又a25＝a3·a7＝4，a5与a3同号，∴a5＝2.故选C.题型一等比数列基本量的运算1．(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则Snan等于()A．2n－1B．2－21－nC．2－2n－1D．21－n－1答案B解析方法一设等比数列{an}的公比为q，则q＝a6－a4a5－a3＝2412＝2.由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，得a1＝1.所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝a11－qn1－q＝2n－1，所以Snan＝2n－12n－1＝2－21－n.方法二设等比数列{an}的公比为q，则a3q2－a3＝12，①a4q2－a4＝24，②②①得a4a3＝q＝2.将q＝2代入①，解得a3＝4.所以a1＝a3q2＝1，下同方法一．2．(2020·广东外国语学校模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝23，1a1＋1a2＋1a3＝132，则S3等于()A.269B.133C.139D．6答案A解析设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，因为a2＝23，且1a1＋1a2＋1a3＝132，所以a1q＝23，1a1＋1a1q＋1a1q2＝132，解得a1＝29，q＝3或a1＝2，q＝13，当a1＝29，q＝3时，S3＝291－331－3＝269；当a1＝2，q＝13时，S3＝21－1331－13＝269，所以S3＝269.3．(2020·马鞍山质检)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地……则此人后四天走的路程比前两天走的路程少()A．198里B．191里C．63里D．48里答案A解析设每天走的路程里数为{an}，则{an}是公比为12的等比数列，由S6＝378，得a11－1261－12＝378，解得a1＝192，∴an＝192·12n－1，∴后四天走的路程为a3＋a4＋a5＋a6，前两天走的路程为a1＋a2，又a1＋a2＝192＋96＝288，且S6＝378，∴a3＋a4＋a5＋a6＝378－288＝90，∴(a1＋a2)－(a3＋a4＋a5＋a6)＝288－90＝198，故此人后四天走的路程比前两天走的路程少198里，故选A.4．(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于()A．2B．3C．4D．5答案C解析a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，∴an＝2×2n－1＝2n.又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，∴2k＋11－2101－2＝215－25，即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.思维升华(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.题型二等比数列的判定与证明例1(八省联考)已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；(2)若a1＝12，a2＝32，求{an}的通项公式．(1)证明an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因为{an}中各项均为正数，所以an＋1＋an0，所以an＋2＋an＋1an＋1＋an＝3，所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列．(2)解由题意知an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，因为an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以4an＝2×3n－1，an＝12×3n－1.思维升华等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．跟踪训练1(2020·泰州模拟)已知数列{an}，{cn}满足cn＝2an＋1＋an.若数列{an}是等比数列，试判断数列{cn}是否为等比数列，并说明理由．解设等比数列{an}的公比为q，则cn＝2an＋1＋an＝2anq＋an＝(2q＋1)an，当q＝－12时，cn＝0，数列{cn}不是等比数列；当q≠－12时，因为cn≠0，所以cn＋1cn＝2q＋1an＋12q＋1an＝q，所以数列{cn}是等比数列．题型三等比数列性质的应用例2(1)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于()A．40B．60C．32D．50答案B解析数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，∴S12＝4＋8＋16＋32＝60.(2)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝_____.答案2解析由已知得，2S9＝S3＋S6，∴q≠1，则有2×a11－q91－q＝a11－q31－q＋a11－q61－q，解得q3＝－12，又a2＋a5＝a2(1＋q3)＝4，∴a2＝8，∴a8＝a2·q6＝8×14＝2.思维升华(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练2(1)已知数列{an}为等比数列，且a2a6＋2a24＝π，则tan(a3·a5)等于()A.3B．－3C．－33D．±3答案A解析由已知得a24＋2a24＝π，∴a24＝π3，又a3·a5＝a24＝π3，∴tan(a3·a5)＝3.(2)(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8等于()A．12B．24C．30D．32答案D解析设等比数列{an}的公比为q，则q＝a2＋a3＋a4a1＋a2＋a3＝21＝2，所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32.对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习过的方法以外，根据数列递推公式的特点，还有以下几种构造方法．构造法1一阶线性递推(形如an＋1＝pan＋q，p≠0，其中a1＝a型)(1)若p＝1，数列{an}为等差数列；(2)若q＝0，数列{an}为等比数列；(3)若p≠1且q≠0，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法如下：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ，又an＋1＝pan＋q，所以(p－1)λ＝q，即λ＝qp－1(p≠1)，所以an＋1＋qp－1＝pan＋qp－1，即an＋qp－1构成以a1＋qp－1为首项，以p为公比的等比数列．例1在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3，求{an}的通项公