【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第6章 高考专题突破三　高考中的数列问题

高考专题突破三高考中的数列问题考试要求1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.3.了解数列是一种特殊的函数.4.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题．数列求和的几种常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1－anq1－q＝a11－qn1－q，q≠1.2．分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解．3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)常见的裂项技巧①1nn＋1＝1n－1n＋1.②1nn＋2＝121n－1n＋2.③12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1.④1n＋n＋1＝n＋1－n.⑤loga1＋1n＝loga(n＋1)－logan(n0)．4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．题型一数列与数学文化1．(多选)(2020·山东曲阜一中月考)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是()A．此人第二天走了九十六里路B．此人第三天走的路程占全程的18C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D．此人后三天共走了42里路答案ACD解析设此人第n天走an里路，则数列{an}是首项为a1，公比为q＝12的等比数列，因为S6＝378，所以S6＝a11－1261－12＝378，解得a1＝192，对于A，由于a2＝192×12＝96，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；对于B，由于a3＝192×14＝48，4837818，所以B不正确；对于C，由于378－192＝186,192－186＝6，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；对于D，a4＋a5＋a6＝378－192－96－48＝42，所以此人后三天共走了42里路，所以D正确．2．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为()A．184斤B．176斤C．65斤D．60斤答案A解析依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为{an}，公差为d，前n项和为Sn，第一个孩子所得棉花斤数为a1，则由题意得，d＝17，S8＝8a1＋8×72×17＝996，解得a1＝65，∴a8＝a1＋(8－1)d＝184.3．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢？()A．2B．3C．4D．6答案C解析不妨设大老鼠和小老鼠每天穿墙的厚度为数列{an}和{bn}，则由题意可知，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{bn}是首项为1，公比为12的等比数列，设前n天两鼠总共穿墙的厚度之和为Sn，则Sn＝1－2n1－2＋1－12n1－12＝2n－12n－1＋1，当n＝3时，S3＝35410，当n＝4时，S4＝135810，故两个老鼠在第4天相逢．4．(2020·潍坊模拟)《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有20位老人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90～100岁)，其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为()A．94岁B．95岁C．96岁D．98岁答案B解析设年长者的年龄为t，由已知，其余19位老人的年龄从小到大依次排列构成公差d＝1的等差数列，设最小者的年龄为a1，由“遂千百五二十岁”知，一遂就是1520岁(一遂有20部，一部有4章，一章有19岁，且20×4×19＝1520)．所以这20位老人的年龄之和为19a1＋19×182d＋t＝1520，整理得a1＋9＋t19＝80.因为t∈N*，a1∈N*，所以t19∈N*.又因为t∈(90,100)，所以t＝19×5＝95.故选B.思维升华数列与数学文化解题3步骤读懂题意会脱去数学文化的背景，读懂题意构建模型由题意，构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型求解模型利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项、通项公式或前n项和的公式题型二数列的判定与证明例1已知数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，a1＝1，a2＝32，a3＝54，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求a4的值；(2)证明：an＋1－12an为等比数列．(1)解因为4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1，a1＝1，a2＝32，a3＝54，当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4×1＋32＋54＋a4＋5×1＋32＝8×1＋32＋54＋1，解得a4＝78.(2)证明由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．当n＝1时，有4a3＋a1＝4×54＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1，∴an＋2－12an＋1an＋1－12an＝4an＋2－2an＋14an＋1－2an＝4an＋1－an－2an＋14an＋1－2an＝2an＋1－an22an＋1－an＝12，∴数列an＋1－12an是以a2－12a1＝1为首项，12为公比的等比数列．思维升华递推数列是数列的一种给出方式，由递推公式构造新的等差(比)数列时，一是看问题中是否有提示的形式，二是直接对递推公式进行变形．跟踪训练1已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，n∈N*.(1)求a2，a3的值；(2)证明数列ann是等差数列，并求{an}的通项公式．解(1)由已知，a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6，由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得nan＋1－n＋1annn＋1＝2，即an＋1n＋1－ann＝2，所以数列ann是首项a11＝1，公差d＝2的等差数列，则ann＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.题型三数列的求和命题点1分组求和与并项求和例2已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，满足Sn－n2＝n(an－1)．(1)证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝(－1)n·n(an＋2n－4)＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)因为Sn－n2＝n(an－1)，即Sn＝nan＋n2－n，①当n≥2时，Sn－1＝(n－1)an－1＋(n－1)2－(n－1)，②①－②，得(n－1)an－(n－1)an－1＋2(n－1)＝0.因为n≥2，所以an－an－1＝－2，所以数列{an}是以a1＝5为首项，d＝－2为公差的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋7.(2)由(1)得bn＝(－1)nn(an＋2n－4)＋2n＝(－1)n3n＋2n，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－3×1＋2×1)＋(3×2＋2×2)＋(－3×3＋2×3)＋(3×4＋2×4)＋…＋(－1)n3n＋2n＝－3[1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n＋1n]＋2(1＋2＋3＋4＋…＋n)，于是当n为奇数时，Tn＝－3×n＋12＋n(n＋1)＝2n－3n＋12；当n为偶数时，Tn＝3n2＋n(n＋1)＝n2n＋52.所以数列{bn}的前n项和Tn＝2n－3n＋12，n为奇数，n2n＋52，n为偶数.思维升华一般地，如果{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an±bn}或cn＝an，n为奇数，bn，n为偶数的前n项和Sn时，可采用分组求和法求和．如果cn＝(－1)n·an，求cn的前n项和时，可采用并项求和法求解．命题点2错位相减法求和例3(2020·全国Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．解(1)设{an}的公比为q，∵a1为a2，a3的等差中项，∴2a1＝a2＋a3＝a1q＋a1q2，a1≠0，∴q2＋q－2＝0，∵q≠1，∴q＝－2.(2)设{nan}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝(－2)n－1，Sn＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，①－2Sn＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n(－2)n，②①－②得，3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n(－2)n＝1－－2n1－－2－n(－2)n＝1－1＋3n－2n3，∴Sn＝1－1＋3n－2n9，n∈N*.思维升华(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．(2)错位相减法求和时，应注意：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．③应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.命题点3裂项相消法求和例4(2020·潍坊模拟)已知数列{an}为等比数列，a1＝1；数列{bn}满足b2＝3，a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝3＋(2n－3)·2n.(1)求an；(2)求1bnbn＋1的前n项和Tn.解(1)令n＝1，得a1b1＝3＋(2－3)×2＝1，所以b1＝1，令n＝2，得a1b1＋a2b2＝7，所以a2b2＝6，又b2＝3，所以a2＝2，设数列{an}的公比为q，则q＝a2a1＝2，所以an＝2n－1.(2)当n≥2时，a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＝3＋(2n－5)2n－1，①又a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝3＋(2n－3)2n，②②－①得anbn＝3＋(2n－3)2n－[3＋(2n－5)2n－1]＝(2n－1)2n－1，所以bn＝2n－1，由(1)知b1＝1，满足bn＝2n－1，故bn＝2n－1，1bnbn＋1＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，所以Tn＝121－13＋1213－15＋…＋1212n－1－12n＋1＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1.思维升华使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．跟踪训练2(1)已知各项均