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§7.4直线、平面垂直的判定与性质考试要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直l⊥al⊥ba∩b＝Oa，b⊂α⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b2.平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α3.空间角(1)直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．②范围：0，π2.(2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．③二面角的平面角的范围：[0，π]．微思考1．若平面α⊥β，且α∩β＝l，若直线m⊥l，则m与平面β一定垂直吗？提示不一定，当m⊂α时，m⊥β.2．空间中任一直线m，在平面α内是否存在无数条直线与m垂直？提示存在．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)垂直于同一个平面的两个平面平行．(×)(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)(4)过平面外一点有且只有一条直线垂直于这个平面．(√)题组二教材改编2．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案D解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．3．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析依题意，由l⊥β，l⊂α，可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β，因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.4.如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有________对．答案3解析∵AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABD，AB⊂平面ABC，∴平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.又AB⊥CD，BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.题组三易错自纠5．“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的______条件．答案必要不充分6．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.证明∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．跟踪训练1如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点，证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P－BCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P－BCDE的体积；(2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE.(1)解如图所示，取DE的中点M，连接PM，由题意知，PD＝PE，∴PM⊥DE，又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM⊂平面PDE，∴PM⊥平面BCDE，即PM为四棱锥P－BCDE的高．在等腰直角三角形PDE中，PE＝PD＝AD＝2，∴PM＝12DE＝2，而直角梯形BCDE的面积S＝12(BE＋CD)·BC＝12×(2＋4)×2＝6，∴四棱锥P－BCDE的体积V＝13PM·S＝13×2×6＝22.(2)证明取BC的中点N，连接PN，MN，则BC⊥MN，∵PB＝PC，∴BC⊥PN，∵MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面PMN，∴BC⊥平面PMN，∵PM⊂平面PMN，∴BC⊥PM，由(1)知，PM⊥DE，又BC，DE⊂平面BCDE，且BC与DE是相交的，∴PM⊥平面BCDE，∵PM⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE.思维升华(1)面面垂直判定的两种方法与一个转化①两种方法：(ⅰ)面面垂直的定义；(ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．②一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(2)面面垂直性质的应用①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．跟踪训练2(2020·江苏)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.证明(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1.又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C⊂平面AB1C，AC⊂平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C.又因为AB⊂平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.题型三垂直关系的综合应用例3(2020·红河州模拟)在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)若△PCD的面积为87，求四棱锥P－ABCD的体积．解(1)存在，当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD.证明：取AD的中点M，连接CM，PM，由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，由平面PAD⊥平面ABCD，PM⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可得PM⊥平面ABCD，由PM⊂平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.(2)设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，可得MC＝AB＝MD＝a，则CD＝2a，PD＝2a，由PM⊥MC，可得PC＝PM2＋MC2＝3a2＋a2＝2a，由S△PCD＝12·2a·4a2－12a2＝72a2＝87，可得a＝4，所以四棱锥P－ABCD的体积V＝13S四边形ABCD·PM＝13×12×(4＋8)×4×43＝323.思维升华对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．跟踪训练3如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．(1)求证：AF∥平面SEC；(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求BMBS的值；若不存在，请说明理由．(1)证明取SC的中点G，连接FG，EG，∵F，G分别是SB，SC的中点，∴FG∥BC，FG＝12BC，∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，∴AE∥BC，AE＝12BC，∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形AFGE是平行四边形，∴AF∥EG，又AF⊄平面SEC，EG⊂平面SEC，∴AF∥平面SEC.(2)证明∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点，∴SE⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE⊂平面SEC，∴AD⊥平面SEC，又EG⊂平面SEC，∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形，∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，又SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB，又FG∩SB＝F，FG，SB⊂平面SBC，∴AF⊥平面SBC，又AF⊂平面ASB，∴平面ASB⊥平面CSB.(3)解假设在棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，连接MO，BE，则BD⊥OM，∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，∴BE＝7，SE＝3，BD＝2OB＝23，SD＝2，SE⊥AD，∵侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD∩底面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，∴SB＝SE2＋BE2＝10，∴cos∠SBD＝SB2＋BD2－SD22SB·BD＝33020，