【新高考复习】第1讲　坐标系

第1讲坐标系1.在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsinθ－π4＝22.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.解(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsinθ－π4＝22，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0，得x＝0，y＝1，故直线l与圆O公共点的一个极坐标为1，π2.2.(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sinθ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程.解(1)∵ρ＝x2＋y2，ρsinθ＝y，∴ρ＝21－sinθ化为ρ－ρsinθ＝2，∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，根据题意21－sinθ0＝3·21－sin（θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6，直线l的极坐标方程θ＝π6(ρ∈R)或θ＝5π6(ρ∈R).3.在极坐标系中，求曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程.解以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cosθ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心为(1，0).直线θ＝π4的直角坐标方程为y＝x，因为圆心(1，0)关于y＝x的对称点为(0，1)，所以圆(x－1)2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1.所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ.4.在极坐标系中，已知圆C的圆心C3，π3，半径r＝3.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且OQ→＝2QP→，求动点P的轨迹方程.解(1)设M(ρ，θ)是圆C上任意一点.在△OCM中，∠COM＝θ－π3，由余弦定理得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|cosθ－π3，化简得ρ＝6cosθ－π3.(2)设点Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，由OQ→＝2QP→，得OQ→＝23OP→，∴ρ1＝23ρ，θ1＝θ，代入圆C的方程，得23ρ＝6cosθ－π3，即ρ＝9cosθ－π3.5.(2015·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0或x＝32，y＝32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和32，32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α).所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4sinα－π3.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.6.(2017·唐山质检)已知曲线C1：x＋3y＝3和C2：x＝6cosφ，y＝2sinφ(φ为参数).以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离.解(1)曲线C1化为ρcosθ＋3ρsinθ＝3.∴ρsinθ＋π6＝32.曲线C2化为x26＋y22＝1(*)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入(*)式得ρ26cos2θ＋ρ22sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6.∴曲线C2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin2θ.(2)∵M(3，0)，N(0，1)，∴P32，12，∴OP的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsinθ＋π6＝32，得ρ1＝1，P1，π6.把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin2θ，得ρ2＝2，Q2，π6.∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.