搜索
专题四《函数》讲义5.3指数函数知识梳理.指数函数1.指数与指数运算(1)根式的性质①(na)n＝a(a使na有意义)．②当n是奇数时，nan＝a；当n是偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.(2)分数指数幂的意义①amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)．②a－mn＝1amn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)．③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(3)有理数指数幂的运算性质①ar·as＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；②aras＝ar－s(a0，r，s∈Q)；③(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；④(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．2．指数函数的概念函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．3．指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象与性质底数a10a1图象性质定义域为R，值域为(0，＋∞)图象过定点(0，1)当x0时，恒有y1；当x0时，恒有0y1当x0时，恒有0y1；当x0时，恒有y1在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a1与0a1来研究题型一.比较大小1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝（12）﹣1.5，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2【解答】解：利用幂的运算性质可得，y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝（12）﹣1.5＝21.5，再由y＝2x是增函数，知y1＞y3＞y2．故选：D．2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a【解答】解：函数y＝0.6x为减函数；故a＝0.60.6＞b＝0.61.5，函数y＝x0.6在（0，+∞）上为增函数；故a＝0.60.6＜c＝1.50.6，故b＜a＜c，故选：C．3．设a＝（35)25，𝑏=(25)35，𝑐=(25)25，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a【解答】解：∵𝑦=𝑥25在x＞0时是增函数∴a＞c又∵𝑦=(25)𝑥在x＞0时是减函数，所以c＞b故选：A．4．已知函数f（x）＝ex+e﹣x，若a＝f（21.1），b＝f（﹣1），c＝f（log23），则实数a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a【解答】解：函数f（x）＝ex+e﹣x，为偶函数，在（0，+∞）上单调递增．∵a＝f（21.1），b＝f（﹣1）＝f（1），c＝f（log23），1＜log23＜2＜21.1．则实数a，b，c的大小关系为b＜c＜a．故选：D．题型二.指数函数的图像与性质1．已知曲线y＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）过定点（k，b），若m+n＝b且m＞0，n＞0，则4𝑚+1𝑛的最小值为（）A．92B．9C．5D．52【解答】解析：∵定点为（1，2）∴m+n＝2∴4𝑚+1𝑛=12(4𝑚+1𝑛)(𝑚+𝑛)=12(5+𝑚𝑛+4𝑛𝑚)≥92当且仅当𝑚𝑛=4𝑛𝑚，即m=43，n=23时取得最小值92，故选：A．2．已知实数a、b满足等式（12）a＝（13）b，给出下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b＝0，其中不可能成立的关系式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：画出指数函数的图象：𝑓(𝑥)=(12)𝑥，g（x）=(13)𝑥．满足等式（12）a＝（13）b，有①0＜b＜a；②a＜b＜0；⑤a＝b＝0，三个．而③0＜a＜b；④b＜a＜0；不可能成立．故选：B．3．已知函数f（x）＝|2x﹣1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则下列结论中，一定成立的是③．（只填序号）①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；③2a+2c＜2；④2﹣a＜2c．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：∵a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），∴由图象知，a＜0，c＞0，b符号不确定，故①错误，②错误，由f（a）＞f（c）得|2a﹣1|＞|2c﹣1|，即﹣2a+1＞2c﹣1，得2a+2c＜2，故③正确，当a＝﹣2，c=12时，f（a）=34，f（c）=√2−1，满足f（a）＞f（c），但2﹣a＝22＝4，2c=√2，则2﹣a＜2c．不成立，故④错误，故正确的是③，故答案为：③．4．若函数f（x）={𝑥2−𝑎𝑥+𝑎(𝑥＜0)(4−2𝑎)𝑥(𝑥≥0)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[0，2）B．(32，2)C．[1，2]D．[0，1]【解答】解：根据分段函数单调性的性质若函数为单调函数，则函数只能是单调递减函数，则满足{−−𝑎2≥00＜4−2𝑎＜1𝑎≥(4−2𝑎)0，即{𝑎≥032＜𝑎＜2𝑎≥1，解得32＜a＜2，故选：B．5．设函数f（x）={12𝑥−1，𝑥≥01𝑥，𝑥＜0若f（a）＞1，则实数a的取值范围是a＞4．【解答】解：当a≥0时，由12𝑎−1＞1得：a＞4，当a＜0时，不等式1𝑎＞1无解，综上满足f（a）＞1的实数a的取值范围是：a＞4故答案为a＞46．若实数a，b满足2a+3a＝3b+2b，则下列关系式中可能成立的是（）A．0＜a＜b＜1B．b＜a＜0C．1＜a＜bD．a＝b【解答】解：由2a+3a＝3b+2b，设f（x）＝2x+3x，g（x）＝3x+2x，易知f（x），g（x）是递增函数，画出f（x），g（x）的图象如下：根据图象可知：当x＝0，1时，f（x）＝g（x），0＜a＜b＜1，f（a）＝f（b）可能成立；故A正确；当b＜a＜0时，因为f（x）≤g（x），所以f（a）＝g（b）可能成立，B正确；当a＝b时，显然成立，当1＜a＜b时，因为f（a）＜g（b），所以不可能成立，故选：ABD．题型三.指数函数的定义域、值域1．函数y=(12)3+2𝑥−𝑥2的定义域为R，值域为[116，+∞）．【解答】解：∵不论函数y=(12)3+2𝑥−𝑥2中的x取何值，函数总有意义，∴函数y=(12)3+2𝑥−𝑥2的定义域为R．令u＝3+2x﹣x2，则y=(12)𝑢．∵u＝3+2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4，∴u∈（﹣∞，4]∵函数y=(12)𝑢为u的减函数，且u∈（﹣∞，4]∴(12)𝑢∈[116，+∞），即y∈[116，+∞），∴函数的值域为[116，+∞），故答案为[116，+∞）2．若函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，2]，则实数a等于√3．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）在[0，2]上单调递增，则{𝑓(0)=0𝑓(2)=𝑎2−1=2解得：a=√3当a＜1时，函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）在[0，2]上单调递减，则{𝑓(0)=2𝑓(2)=0无解故a=√3故答案为：√33．已知f（x）=√3𝑥2+2𝑎𝑥−𝑎−1的定义域为R，则实数a的取值范围是[﹣1，0]．【解答】解：∵f（x）=√3𝑥2+2𝑎𝑥−𝑎−1的定义域为R，∴3𝑥2+2𝑎𝑥−1−1≥0对任意x∈R恒成立，即3𝑥2+2𝑎𝑥−𝑎≥1=30恒成立，即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0．故答案为：[﹣1，0]．4．已知函数f（x）＝（13）𝑎𝑥2−4𝑥+3，若f（x）的值域是（0，+∞），求a的值．【解答】解：由指数函数的性质知，要使y＝f（x）的值域是（0，+∞），应使h（x）＝ax2﹣4x+3的值域为R，若a≠0，h（x）为二次函数，其值域不可能为R，∴a的值是0．5．若函数𝑦=√4𝑥+𝑎⋅2𝑥+1的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．【解答】解：设g（x）＝4x+a•2x+1，若函数𝑦=√4𝑥+𝑎⋅2𝑥+1的值域为[0，+∞），则等价为[0，+∞）是g（x）值域的子集，g（x）＝4x+a•2x+1＝（2x）2+a•2x+1，设t＝2x，则t＞0，则函数g（x）等价为y＝h（t）＝t2+at+1，∵h（0）＝1＞0，∴当对称轴t=−𝑎2≤0，即a≥0时，不满足条件．当t=−𝑎2＞0，即a＜0时，则判别式△＝a2﹣4≥0，即{𝑎＜0𝑎≥2或𝑎≤−2，则a≤﹣2，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]，故答案为：（﹣∞，﹣2]6．若关于x的方程：9x+（4+a）•3x+4＝0有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣8）∪[0，+∞）B．（﹣8，﹣4）C．[﹣8，﹣4]D．（﹣∞，﹣8]【解答】解：∵a+4=−32𝑥+43𝑥，令3x＝t（t＞0），则−32𝑥+43𝑥=−(𝑡+4𝑡)因为(𝑡+4𝑡)≥4，所以−32𝑥+43𝑥≤−4，∴a+4≤﹣4，所以a的范围为（﹣∞，﹣8]故选：D．