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专题四《函数》讲义5.6奇偶性知识梳理.奇偶性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.判断函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．(2)图象法：(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．题型一.判断奇偶性1．已知函数f(𝑥)=2𝑥+12𝑥−1，𝑔(𝑥)=2𝑥，则下列结论正确的是（）A．f（x）g（x）为奇函数B．f（x）g（x）为偶函数C．f（x）+g（x）为奇函数D．f（x）+g（x）为非奇非偶函数【解答】解：f（x）的定义域为2x﹣1≠0，x≠0，𝑓(−𝑥)=2−𝑥+12−𝑥−1=1+2𝑥1−2𝑥=−𝑓(𝑥)，故函数f（x）为奇函数，g（x）定义域为R且g（﹣x）＝﹣g（x），函数g（x）也为奇函数，∴f（x）g（x）为偶函数，f（x）+g（x）为奇函数，故选：BC．2．下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（）A．𝑦=𝑙𝑜𝑔2(√𝑥2+1−𝑥)B．y＝sinxC．y＝2x﹣2﹣xD．y＝|x﹣1|【解答】解：因为f（﹣x）+f（x）＝log2（√(−𝑥)2+1+𝑥）+log2（√𝑥2+1−𝑥）＝log2（x2+1﹣x2）＝0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，但是f（1）＝log2（√2−1），f（0）＝0，f（1）＜f（0），不满足单调递增，不符合题意；y＝sinx在R上不单调，不符合题意；y＝2x﹣2﹣x在R上单调递增，且f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，符合题意；y＝|x﹣1|为非奇非偶函数，不符合题意；故选：C．3．设函数f（x）＝x（ex+e﹣x），则对f（x）的奇偶性和在（0，+∞）上的单调性判断的结果是（）A．奇函数，单调递增B．偶函数，单调递增C．奇函数，单调递减D．偶函数，单调递减【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x（ex+e﹣x），其定义域为R，有f（﹣x）＝（x）（e﹣x+ex）＝﹣x（ex+e﹣x）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，又由f′（x）＝（ex+e﹣x）+x（ex﹣e﹣x），区间（0，+∞）上，ex＞1＞e﹣x＞0，则有f′（x）＞0，则f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，故选：A．题型二.已知奇偶性求参、求值1．若函数f（x）=𝑘−2𝑥1+𝑘⋅2𝑥（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为±1．【解答】解：∵函数f（x）=𝑘−2𝑥1+𝑘⋅2𝑥∴f（﹣x）＝﹣f（x）∴𝑘−2−𝑥1+𝑘⋅2−𝑥=−𝑘−2𝑥1+𝑘⋅2𝑥∴（k2﹣1）（2x）2＝1﹣k2∴（k2﹣1）＝0∴k＝±1验证k＝±1时，满足函数f（x）在定义域上为奇函数，故答案为：±1．2．若函数f（x）＝xln（x+√𝑎+𝑥2）为偶函数，则a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1【解答】解：∵函数f（x）＝xln（x+√𝑎+𝑥2）为偶函数，x∈R，∴设g（x）＝ln（x+√𝑎+𝑥2）是奇函数，则g（0）＝0，即ln√𝑎=0，则√𝑎=1，则a＝1．故选：B．3．（2019·全国2）已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，则a＝．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣ln2）＝﹣8，又∵当x＜0时，f（x）＝﹣eax，∴f（﹣ln2）＝﹣e﹣aln2＝﹣8，∴﹣aln2＝ln8，∴a＝﹣3．故答案为：﹣3题型三.两个重要结论1．已知函数f（x）=𝑙𝑛(√1+𝑥2−𝑥)+1，f（a）＝4，则f（﹣a）＝﹣2．【解答】解：根据题意，f（x）=𝑙𝑛(√1+𝑥2−𝑥)+1，则f（﹣x）=𝑙𝑛(√1+𝑥2+𝑥)+1，则f（x）+f（﹣x）＝2，即有f（a）+f（﹣a）＝2，又由f（a）＝4，则f（﹣a）＝﹣2；故答案为：﹣22．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）sin（x﹣1）+x+1在[﹣1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m＝4．【解答】解：∵f（x）＝（x2﹣2x）sin（x﹣1）+x+1＝[（x﹣1）2﹣1]sin（x﹣1）+x﹣1+2令g（x）＝（x﹣1）2sin（x﹣1）﹣sin（x﹣1）+（x﹣1），而g（2﹣x）＝（x﹣1）2sin（1﹣x）﹣sin（1﹣x）+（1﹣x），∴g（2﹣x）+g（x）＝0，则g（x）关于（1，0）中心对称，则f（x）在[﹣1，3]上关于（1，2）中心对称．∴M+m＝4．故答案为：4．题型四.奇偶性和单调性综合1．设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在(12，+∞)单调递增B．是奇函数，且在(−12，12)单调递增C．是偶函数，且在(−∞，−12)单调递增D．是奇函数，且在(−∞，−12)单调递增【解答】解：由{2𝑥+1≠02𝑥−1≠0，得x≠±12．又f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|＝ln|2𝑥+12𝑥−1|，∵2𝑥+12𝑥−1=1+22𝑥−1=1+1𝑥−12．可得内层函数t＝|2𝑥+12𝑥−1|的图象如图，在（﹣∞，−12），（（12，+∞）上单调递减，在（−12，12）上单调递增，又对数式y＝lnt是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（−12，12）上单调递增，在（﹣∞，−12），（（12，+∞）上单调递减．故选：B．2．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则三个数a＝f（﹣log313），b＝f（2cos2𝜋5），c＝f（20.6）的大小关系为（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．c＞a＞b【解答】解：根据题意，2＝log39＜log313＜log327＝3，0＜2𝑐𝑜𝑠2𝜋5＜2𝑐𝑜𝑠𝜋3=1，1＜20.6＜21＝2，则有2𝑐𝑜𝑠2𝜋5＜1＜20.6＜2＜𝑙𝑜𝑔313，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则a＝f（﹣log313）＝f（log313），又由f（x）在[0，+∞）上单调递增，则𝑓(−𝑙𝑜𝑔313)＞𝑓(20.6)＞𝑓(2𝑐𝑜𝑠2𝜋5)，即a＞c＞b，故选：B．3．（2017•新课标Ⅰ）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．4．（2020•海南）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]【解答】解：∵定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，f（x）的大致图象如图：∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0；故f（﹣1）＜0；当x＝0时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，当x＝1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，当x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2时，即x＝3或x＝﹣1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，当x＞0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≥0，此时{𝑥＞00＜𝑥−1≤2，此时1＜x≤3，当x＜0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≤0，即{𝑥＜0−2≤𝑥−1＜0，得﹣1≤x＜0，综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，故选：D．5．已知定义域为R的函数f（x）=−2𝑥+𝑏2𝑥+1+𝑎是奇函数．若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，则k的取值范围为k＜−13．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0⇒b＝1；从而有f（x）=1−2𝑥2𝑥+1+𝑎，又由f（﹣1）＝﹣f（1）⇒a＝2；∴f（x）=1−2𝑥2+2𝑥+1=−12+11+2𝑥，由上式可知f（x）在R上为减函数，又∵f（x）为奇函数，f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0⇔f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），∵f（x）是R上的减函数，由上式可得t2﹣2t＞k﹣2t2，即对一切t∈R有3t2﹣2t﹣k＞0，从而△＝4+12k＜0，解得k＜−13．6．（2007•天津）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[√2，+∞)B．[2，+∞）C．（0，2]D．[−√2，−1]∪[√2，√3]【解答】解：（排除法）当𝑡=√2则𝑥∈[√2，√2+2]得𝑓(𝑥+√2)≥2𝑓(𝑥)，即(𝑥+√2)2≥2𝑥2⇒𝑥2−2√2𝑥−2≤0在𝑥∈[√2，√2+2]时恒成立，而𝑥2−2√2𝑥−2最大值，是当𝑥=√2+2时出现，故𝑥2−2√2𝑥−2的最大值为0，则f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除B项，同理再验证t＝3时，f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除C项，t＝﹣1时，f（x+t）≥2f（x）不成立，故排除D项故选：A．7．（2017•江苏）已知函数f（x）＝x3﹣2x+ex−1𝑒𝑥，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1，12]．【解答】解：函数f（x）＝x3﹣2x+ex−1𝑒𝑥的导数为：f′（x）＝3x2﹣2+ex+1𝑒𝑥≥−2+2√𝑒𝑥⋅1𝑒𝑥=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）＝（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex−1𝑒𝑥=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），f（2a2）≤f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤12，故答案为：[﹣1，12]．8．（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln（1+|x|）−11+𝑥2，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，13）∪（1，+∞）B．（13，1）C．（−13，13）D．（﹣∞，−13）∪(13，+∞)【解答】解：∵函数f（x）＝ln（1+|x|）−11+𝑥2为偶函数，且在x≥0时，f（x）＝ln（1+x）−11+𝑥2，导数为f′（x）=11+𝑥+2𝑥(1+𝑥2)2＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：13＜x＜1，所求x的取值范围是（13，1）．故选：B．