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专题四《函数》讲义5.7对称性与周期性知识梳理.对称性与周期性1.轴对称：①f(x)=f(-x)，关于x=0对称②f(a+x)=f(a-x)，关于x=a对称③f(a+x)=f(b-x)，关于x=2ba对称2.中心对称：①f(x)-f(-x)=0，关于(0,0)对称②f(a+x)-f(a-x)=0，关于(a,0)对称③f(a+x)-f(a-x)=2b，关于(a,b)对称3.周期性：①f(x)=f(x+T)，最小正周期为T，有多个对称轴，有多个对称中心.②f(x+a)=f(x+b)，T=lb-al③f(x+a)=-f(x+b)，T=2lb-al④f(x+a)=±)(f1x，T=l2al题型一.轴对称1．已知函数f（x）＝f（2﹣x），x∈R，当x∈[1，+∞）时，f（x）为增函数．设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（﹣1），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．c＞b＞a2．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x（3﹣2x），则f（312）＝（）A．﹣1B．−12C．12D．13．已知定义域为R的函数f（x）在[1，+∞）单调递增，且f（x+1）为偶函数，若f（3）＝1，则不等式f（2x+1）＜1的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）题型二.中心对称1．已知函数f（2x+1）是奇函数．则函数y＝f（2x）的图象成中心对称的点为（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（12，0）D．（−12，0）2．已知函数f（x﹣1）（x∈R）是偶函数，且函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x﹣1，则f（2019）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．23．（2016·全国2）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数y=𝑥+1𝑥与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则∑𝑚𝑖=1（xi+yi）＝（）A．0B．mC．2mD．4m题型三.周期性1．已知函数f（x）={𝑙𝑜𝑔0.5(3−𝑥)，𝑥≤0−1𝑓(𝑥−4)，𝑥＞0，则f（2019）＝（）A．45B．23C．12D．132．（2017•山东）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）＝f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，则f（919）＝．3．（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50B．0C．2D．50题型四.对称性与周期性综合1．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称2．设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，f（x）＝（12）x﹣1，则a＝f（log32），b＝f（﹣log√312），c＝f（3）的大小关系是（）A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．b＞a＞cD．c＞b＞a3．已知函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x）（x∈R），且对任意x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2）的时，恒有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2＜0成立，则当f（2a2+a+2）＜f（2a2﹣2a+4）时，实数a的取值范围为（）A．（23，+∞）B．（−∞，23）C．（23，1）D．（23，1）∪（1，+∞）4．已知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）＝0，则f（x+1）＞0的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）5．（2019•新课标Ⅱ）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥−89，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，94]B．（﹣∞，73]C．（﹣∞，52]D．（﹣∞，83]6．（2009•山东）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）＝m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝．课后作业.函数性质1．若函数f（x）＝1+2𝑥+12𝑥+1+sinx在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（）A．0B．1C．2D．42．（2020·全国2）设函数f（x）＝x3−1𝑥3，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减3．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣x（x﹣2），则（）A．f（x）是周期为2的函数B．f（2019）+f（2020）＝﹣1C．f（x）的值域为[﹣1，1]D．y＝f（x）在[0，2π]上有4个零点4．设函数f（x）＝lg（1+|2x|）−11+𝑥4，则使得f（3x﹣2）＞f（x﹣4）成立的x的取值范围是（）A．（13，1）B．（﹣1，32）C．（﹣∞，32）D．（﹣∞，﹣1）∪（32，+∞）5．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则（）A．𝑓(6)＜𝑓(−7)＜𝑓(112)B．𝑓(6)＜𝑓(112)＜𝑓(−7)C．𝑓(−7)＜𝑓(112)＜𝑓(6)D．𝑓(112)＜𝑓(−7)＜𝑓(6)6．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝﹣f（x）＝f（4﹣x），当x∈（0，2）时，f（x）＝ln（x2﹣x+b）．若函数f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点，则实数b的取值范围是．