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专题四《函数》讲义5.9函数的零点知识梳理.函数的零点1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．题型一.零点所在的区间1．函数f（x）＝3x−3𝑥−2的零点所在区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）2．函数f（x）＝log2x+x+2的零点所在的一个区间是（）A．(0，18)B．(18，14)C．(14，13)D．(13，12)3．设函数y＝x3与y＝（12）x﹣2的图象交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（3，4）C．（1，2）D．（2，3）题型二.零点的个数1．函数f（x）＝4x|log0.5x|﹣1的零点个数为．2．函数f（x）={2𝑥−2，𝑥≤1𝑥2−3𝑥+2，𝑥＞1的图象与函数g（x）＝ln（x+1）的图象的交点的个数是．3．若偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），在x∈[0，1]时，f（x）＝x2，则关于x的方程f（x）＝（110）x在[0，4]上根的个数是．4．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2，函数g（x）={𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥−1)𝑥＞12𝑥𝑥≤1，若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上恰有8个零点，则a的取值范围为（）A．（2，4）B．（2，5）C．（1，5）D．（1，4）题型三.已知零点个数求参1．若函数f（x）＝ex﹣x2+ax﹣1在区间[1，2]内有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（）A．[5−𝑒22，+∞)B．（﹣∞，2﹣e]C．(5−𝑒22，2−𝑒)D．[5−𝑒22，2−𝑒]2．若函数f（x）＝logax﹣x+a（a＞0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，e）D．（e，+∞）3．已知函数f（x）={1𝑥+1−3，𝑥∈(−1，0]3𝑥，𝑥∈(0，1]，且函数g（x）＝f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是．4．已知函数f（x）＝e2x﹣a（x+2）．当a＝2时，f（x）的增区间为；若f（x）有两个零点，则实数a的取值范围为．5．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x+12|，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．6．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝2x2，g（x）＝loga|x﹣1|（√2＜a＜2），则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）所有零点的和为（）A．3B．4C．5D．67．已知函数g（x）＝a﹣x2（1𝑒≤x≤e（e为自然对数的底数）与h（x）＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，1𝑒+2]B．[1𝑒2+2，e2﹣2]C．[e2﹣2，+∞）D．[1，e2﹣2]8．已知函数f（x）＝3e|x﹣1|﹣a（2x﹣1+21﹣x）﹣a2有唯一零点，则负实数a＝（）A．−13B．−12C．﹣3D．﹣2题型四.复合函数的零点1．已知f（x）＝x2ex，若函数g（x）＝f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（2，4𝑒2+𝑒24）C．（8𝑒2，2）D．（4𝑒2+𝑒24，+∞）2．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）＝x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数为（）A．3B．4C．5D．以上都有可能3．已知函数f（x）={(12)𝑥−4，𝑥≤−1𝑙𝑛(𝑥+1)，𝑥＞−1，若f（f（x））＜0，则x的取值范围为（）A．（﹣2，0）B．(−∞，1𝑒2−1)C．(−2，1𝑒2−1)D．(−2，−1)∪(1𝑒2−1，0)4．已知函数f（x）＝x3﹣3x，则函数h（x）＝f[f（x）]﹣c，c∈[﹣2，2]的零点个数（）A．5或6个B．3或9个C．9或10个D．5或9个课后作业.函数的零点1．设定义在R上的函数𝑓(𝑥)={2𝑥，𝑥≤0|𝑙𝑜𝑔2𝑥|，𝑥＞0，g（x）＝f（x）﹣a，则当实数a满足0＜a＜1时，函数y＝g（x）的零点个数为个．2．已知函数f（x）={|𝑥+1|，𝑥≤0|𝑙𝑜𝑔2𝑥|，𝑥＞0，若方程f（x）＝a（a∈R）有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+x2）x4的取值范围是．3．已知函数𝑓(𝑥)={|𝑙𝑛𝑥|，𝑥＞0|𝑥2+4𝑥+3|，𝑥≤0，若g（x）＝ax（a∈R）使得方程f（x）＝g（x）恰有3个不同的实根，则实数a的取值范围为．4．已知函数f（x）={𝑥3−34𝑥+32，0≤𝑥≤122𝑥+12，12＜𝑥≤1，g（x）＝ex﹣ax（a∈R），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，e﹣2]C．（﹣∞，e−54]D．（﹣∞，e]5．已知函数f（x）={𝑎，𝑥=1(12)|𝑥−1|+1，𝑥≠1，若方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0有5个不同的实数解，则a的范围是（）A．（1，32）∪（32，2）B．（1，2）∪（2，3）C．（1，+∞）D．（1，3）6．已知f（x）={𝑥2−4，𝑥≤𝑎𝑒𝑥−1，𝑥＞𝑎（其中a＜0，e为自然对数的底数），若g（x）＝f[f（x）]在R上有三个不同的零点，则a的取值范围是．