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专题四《函数》讲义5.8函数的图像题型一.不会画的函数图像，选择题1．（2017•新课标Ⅰ）函数y=𝑠𝑖𝑛2𝑥1−𝑐𝑜𝑠𝑥的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=𝑠𝑖𝑛2𝑥1−𝑐𝑜𝑠𝑥，可知函数是奇函数，排除选项B，当x=𝜋3时，f（𝜋3）=√321−12=√3，排除A，x＝π时，f（π）＝0，排除D．故选：C．2．（2017•新课标Ⅲ）函数y＝1+x+𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y＝1+x+𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2，可知：f（x）＝x+𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y＝1+x+𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2的图象关于（0，1）对称，当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x＝π时，y＝1+π，排除B．故选：D．3．（2016•新课标Ⅰ）函数y＝2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝y＝2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）＝2（﹣x）2﹣e|﹣x|＝2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x＝±2时，y＝8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）＝y＝2x2﹣ex，∴f′（x）＝4x﹣ex＝0有解，故函数y＝2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．4．（2018•新课标Ⅲ）函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）＝﹣4x3+2x＝﹣2x（2x2﹣1），由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x＜−√22或0＜x＜√22，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0，得x＞√22或−√22＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，也可以利用f（1）＝﹣1+1+2＝2＞0，排除A，B，故选：D．5．（2013•四川）函数y=𝑥33𝑥−1的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x→﹣∞时，y→+∞，排除B，当x→+∞时，x3＜3x﹣1，此时y→0，排除D，故选：C．6．（2011•山东）函数y=𝑥2−2sinx的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x＝0时，y＝0﹣2sin0＝0故函数图象过原点，可排除A又∵y'=12−2𝑐𝑜𝑠𝑥故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案，只有C满足要求故选：C．7．（2021•渭南二模）函数𝑦=𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥𝑒𝑥+𝑒−𝑥的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：设f（x）=𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥𝑒𝑥+𝑒−𝑥，则f（﹣x）=−𝑥−𝑠𝑖𝑛(−𝑥)𝑒𝑥+𝑒−𝑥=−𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥𝑒𝑥+𝑒−𝑥=−f（x），故函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故选项C错误；又f（﹣π）=−𝜋𝑒𝜋+𝑒−𝜋＜0，故选项A错误；当x→+∞时，x+sinx＞0，所以f（x）＞0，故选项D错误，选项B正确．故选：B．8．（2012•山东）函数y=𝑐𝑜𝑠6𝑥2𝑥−2−𝑥的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：令y＝f（x）=𝑐𝑜𝑠6𝑥2𝑥−2−𝑥，∵f（﹣x）=𝑐𝑜𝑠(−6𝑥)2−𝑥−2𝑥=−𝑐𝑜𝑠6𝑥2𝑥−2−𝑥=−f（x），∴函数y=𝑐𝑜𝑠6𝑥2𝑥−2−𝑥为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选：D．题型二.高中必会画的10个函数图像1．（2021•滨海县校级一模）函数y＝2|x|﹣1的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为R，排除A，D，当x＞0时，y＝2x﹣1＞0，排除B，故选：C．2．（2014•贵港模拟）下列区间中，函数f（x）＝|ln（2﹣x）|在其上为增函数的是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣1，43]C．[0，32）D．[1，2）【解答】解：由2﹣x＞0得，x＜2，∴f（x）的定义域为（﹣∞，2），当x＜1时，ln（2﹣x）＞0，f（x）＝|ln（2﹣x）|＝ln（2﹣x），∵y＝lnt递增，t＝2﹣x递减，∴f（x）单调递减；当1≤x＜2时，ln（2﹣x）≤0，f（x）＝|ln（2﹣x）|＝﹣ln（2﹣x），∵y＝﹣t递减，t＝ln（2﹣x）递减，∴f（x）递增，即f（x）在[1，2）上单调递增，故选：D．3．（2012•天津）已知函数y=|𝑥2−1|𝑥−1的图象与函数y＝kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）．【解答】解：y=|𝑥2−1|𝑥−1={𝑥+1，𝑥≤−1或𝑥＞1−𝑥−1，−1＜𝑥＜1，作出函数y=|𝑥2−1|𝑥−1与y＝kx﹣2的图象如图所示：∵函数y=|𝑥2−1|𝑥−1的图象与函数y＝kx﹣2的图象恰有两个交点，∴0＜k＜1或1＜k＜4．故答案为：（0，1）∪（1，4）．4．（2020•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在（12，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（−12，12）单调递减C．是偶函数，且在（﹣∞，−12）单调递增D．是奇函数，且在（﹣∞，−12）单调递减【解答】解：由{2𝑥+1≠02𝑥−1≠0，得x≠±12．又f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数；由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|=𝑙𝑛|2𝑥+1||2𝑥−1|=𝑙𝑛|2𝑥+12𝑥−1|，∵2𝑥+12𝑥−1=2𝑥−1+22𝑥−1=1+22𝑥−1=1+22(𝑥−12)=1+1𝑥−12．可得内层函数t＝|2𝑥+12𝑥−1|的图象如图，在（﹣∞，−12）上单调递减，在（−12，12）上单调递增，则（12，+∞）上单调递减．又对数式y＝lnt是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（﹣∞，−12）上单调递减．故选：D．5．（2019•新课标Ⅰ）关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（𝜋2，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（𝜋2，π）时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx，则f（x）＝sinx+sinx＝2sinx为减函数，故②错误，当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+sinx＝2sinx，由f（x）＝0得2sinx＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，0）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sinx|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：C．6．（2012•湖北）已知定义在区间（0，2）上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝﹣f（2﹣x）的图象为（）A．B．C．D．【解答】解：由（0，2）上的函数y＝f（x）的图象可知f（x）={𝑥，0＜𝑥≤11，1＜𝑥＜2当0＜2﹣x＜1即1＜x＜2时，f（2﹣x）＝2﹣x当1≤2﹣x＜2即0＜x≤1时，f（2﹣x）＝1∴y＝﹣f（2﹣x）={−1，0＜𝑥≤1𝑥−2，1＜𝑥＜2，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项B正确故选：B．7．（2015秋•林芝县校级期末）若直线y＝x+b与曲线x=√1−𝑦2恰有一个公共点，则b的取值范围是（）A．﹣1＜b≤1B．﹣1≤b≤1C．−√2≤b≤﹣1D．﹣1＜b≤1或b=−√2【解答】解：曲线x=√1−𝑦2即x2+y2＝1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，如图所示．当直线y＝x+b经过点A（0，1）时，求得b＝1，当直线y＝x+b经过点B（1，0）时，求得b＝﹣1，当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y＝x+b的距离等于半径，可得|0−0+𝑏|√2=1，求得b=−√2，或b=√2（舍去）．故当直线y＝x+b与曲线x=√1−𝑦2恰有一个公共点时b的取值范围是﹣1＜b≤1或b=−√2，故选：D．8．（2013•浙江）已知e为自然对数的底数，设函数f（x）＝（ex﹣1）（x﹣1）k（k＝1，2），则（）A．当k＝1时，f（x）在x＝1处取得极小值B．当k＝1时，f（x）在x＝1处取得极大值C．当k＝2时，f（x）在x＝1处取得极小值D．当k＝2时，f（x）在x＝1处取得极大值【解答】解：当k＝1时，函数f（x）＝（ex﹣1）（x﹣1）．求导函数可得f'（x）＝ex（x﹣1）+（ex﹣1）＝（xex﹣1），f'（1）＝e﹣1≠0，则f（x）在x＝1处取不到极值，当k＝2时，函数f（x）＝（ex﹣1）（x﹣1）2．f'（x）＝ex（x﹣1）2+2（ex﹣1）（x﹣1）＝（x﹣1）（xex+ex﹣2），∴f'（1）＝0，且当x＞1时，f'（x）＞0，当x0＜x＜1时（x0为极大值点），f'（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；在（x0，1）上是减函数，从而函数f（x）在x＝1取得极小值．故选：C．9．（2020•海淀区校级模拟）已知函数f（x）={2−𝑥−1，𝑥≤0𝑓(𝑥−1)，𝑥＞0，若方程f（x）＝x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（0，1）D．[0，+∞）【解答】解：函数f（x）={2−𝑥−1，𝑥≤0𝑓(𝑥−1)，𝑥＞0的图象如图所示，当a＜1时，函数y＝f（x）的图象与函数y＝x+a的图象有两个交点，即方程f（x）＝x+a有且只有两个不相等的实数根．故选：A．10．（2015•天门模拟）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）={2|𝑥−1|−1，0＜𝑥≤212𝑓(𝑥−2)，𝑥＞2则关于x的方程6[f（x）]2﹣f（x）﹣1＝0的实数根个数为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：设t＝f（x），则关于x的方程6[f（x）]2﹣f（x）﹣1＝0，等价6t2﹣t﹣1＝0，解得t=12或t=−13，当x＝0时，f（0）＝0，此时不满足方程．若2＜x≤4，则0＜x﹣2≤2，即f（x）=12𝑓(𝑥−2)=12（2|x﹣3|﹣1），若4＜x≤6，则2＜x﹣2≤4，即f（x）=12𝑓(𝑥−2)=14（2|x﹣5|﹣1），作出当x＞0时，f（x）={2|𝑥−1|−1，0＜𝑥≤212𝑓(𝑥−2)，𝑥＞2的图象如图：当t=12时，f（x）=12对应3个交点．∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，由f（x）=−13，可得当x＞0时，f（x）=13，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B．