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专题六《导数》讲义6.1导数的几何意义——切线知识梳理.导数的几何意义1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx．(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a0且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(x0，a0且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnx(x0)f′(x)＝1x3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．题型一.在某点的切线1．函数f（x）＝xlnx﹣x3﹣x+1的图象在x＝1处的切线方程是．2．直线y＝kx+1与曲线y＝x3+ax+b相切于点A（1，3），则2a+b的值为．3．已知曲线y=1𝑒𝑥+1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为（）A．x+4y﹣2＝0B．x﹣4y+2＝0C．4x+2y﹣1＝0D．4x﹣2y﹣1＝0题型二.过某点的切线1．已知函数f（x）＝x2﹣5x+7，求经过点A（1，2）的曲线f（x）的切线方程．2．已知直线y＝x+1与曲线y＝ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣23．已知曲线C：f（x）＝x3﹣ax+a，若过曲线C外一点A（1，0）引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为（）A．278B．﹣2C．2D．−278题型三.已知切线求参数的取值范围1．函数f（x）＝ax2−13x3（x＞0）的图象存在与直线x﹣y+2＝0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）2．已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）3．已知函数y=12𝑥2的图象在点(𝑥0，12𝑥02)处的切线为直线l，若直线l与函数y＝lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足条件（）A．0＜x0＜1B．1＜x0＜√2C．√2＜𝑥0＜√3D．√3＜𝑥0＜2题型四.距离最值问题1．若点P是函数f（x）＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2＝0的最小距离为．2．（2012·全国）设点P在曲线𝑦=12𝑒𝑥上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．√2(1−𝑙𝑛2)C．1+ln2D．√2(1+𝑙𝑛2)题型五.公切线问题1．设函数𝑓(𝑥)=𝑝(𝑥−1𝑥)−2𝑙𝑛𝑥，𝑔(𝑥)=2𝑒𝑥．若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求p的值；2．若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝ln（x+1）的切线，则b＝．3．若存在a＞0，使得函数f（x）＝6a2lnx+4ax与g（x）＝x2﹣b在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为（）A．1𝑒2B．12𝑒2C．13𝑒2D．3𝑒2课后作业.切线1．函数f（x）＝ln（x2+1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（）A．0B．𝜋2C．𝜋3D．𝜋42．已知：过点M（m，0）可作函数f（x）＝x2﹣2x+t图象的两条切线l1，l2，且l1⊥l2，则t＝（）A．1B．54C．32D．23．已知函数f（x）＝2lnx+x2+ax，若曲线y＝f（x）存在与直线2x﹣y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，+∞）D．[﹣2，+∞）4．若函数f（x）＝lnx与函数g（x）＝x2+2x+lna（x＜0）有公切线，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．(0，12𝑒)C．（1，+∞）D．(12𝑒，+∞)