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专题六《导数》讲义6.3导数与函数的极值、最值知识梳理.极值与最值1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．题型一.极值、最值的概念1．函数y＝xsinx+cosx的一个极小值点为（）A．x=−𝜋2B．x=𝜋2C．x＝πD．x=3𝜋22．（2017·全国2）若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．13．（2013·全国2）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝04．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣4x+5在x＝﹣2处取极值（a∈R）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[﹣3，3]上的最大值．题型二.已知极值、最值求参考点1.利用二次函数根的分布1．若函数f（x）＝x3﹣3bx+b在区间（0，1）内有极小值，则b的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，0）2．已知函数f（x）=13x3−12ax2+x在区间（12，3）上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（2，52）D．（2，103）考点2.参变分离3．若函数f（x）=𝑥33−𝑎2x2+x+1在区间（12，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（2，52）B．[2，52）C．（2，103）D．[2，103）4．已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑥2+2𝑘𝑙𝑛𝑥−𝑘𝑥，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．(−∞，𝑒24]B．(−∞，𝑒2]C．（0，2]D．[2，+∞）考点3.分类讨论5．已知函数f（x）＝ax−1𝑥−（a+1）lnx+1在（0，1]上的最大值为3，则实数a＝．6．已知函数𝑓(𝑥)=(12𝑥2−𝑎𝑥)𝑙𝑛𝑥−12𝑥2+32𝑎𝑥．（1）讨论函数f（x）的极值点；（2）若f（x）极大值大于1，求a的取值范围．7．已知函数f（x）＝lnx−𝑎𝑥（a∈R）（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为32，求a的值．考点4.初探隐零点——设而不求，虚设零点8．（2013·湖北）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．𝑓(𝑥1)＞0，𝑓(𝑥2)＞−12B．𝑓(𝑥1)＜0，𝑓(𝑥2)＜−12C．𝑓(𝑥1)＞0，𝑓(𝑥2)＜−12D．𝑓(𝑥1)＜0，𝑓(𝑥2)＞−129．已知f（x）＝（x﹣1）2+alnx在(14，+∞)上恰有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则𝑓(𝑥1)𝑥2的取值范围为（）A．(−3，12−𝑙𝑛2)B．(12−𝑙𝑛2，1)C．(−∞，12−𝑙𝑛2)D．(12−𝑙𝑛2，34−𝑙𝑛2)10．（2017·全国2）已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．课后作业.极值、最值1．若函数f（x）＝（x2+ax+3）ex在（0，+∞）内有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，﹣3]2．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑒𝑥−13𝑎𝑥3−12𝑎𝑥2有三个极值点，则a的取值范围是（）A．（0，e）B．(0，1𝑒)C．（e，+∞）D．(1𝑒，+∞)3．已知f（x）＝ex，g（x）＝lnx，若f（t）＝g（s），则当s﹣t取得最小值时，f（t）所在区间是（）A．（ln2，1）B．（12，ln2）C．（13，1𝑒）D．（1𝑒，12）4．已知函数f（x）＝lnx+x2﹣ax+a（a＞0）有两个极值点x1、x2（x1＜x2），则f（x1）+f（x2）的最大值为（）A．﹣1﹣ln2B．1﹣ln2C．2﹣ln2D．3﹣ln25．已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+12𝑎𝑥2+𝑥，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．