【新高考复习】考点01 集合（解析版）

考点01集合【命题解读】集合的运算.高考对集合基本运算的考查，集合由描述法呈现，转向由离散元素呈现．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素，进一步进行交、并、补等运算．常见选择题.【基础知识回顾】1、元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉。2、集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A。(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA。(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B。(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3、集合的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．4、集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A。（4）∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)。5、相关结论：(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个。(2)不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.1、（2021年徐州摸底）已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.2、（2021高三期末）已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由集合，所以故选：D3、（2021·贵溪市实验中学高一期末）已知全集，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，故选:D.4、（2021·山东德州市·高三期末）设集合，则（）{4,5,6},{3,5,7}ABAB{5}{4,6}{3,4,5,6,7}{4,5,6},{3,5,7}AB5AB{1,2,3}P={1,3,5}QPQ{1}{1,3}{2,5}{1,2,3,5}{1,2,3}P={1,3,5}Q1,2,3,5PQ2,4210,{3}UAxxxBxxRN∣∣UABð{37}xx∣„{33}xx∣剟{4.5,6}{4,5,6,7}24210{37}UAxxxxx∣∣ð剟?{37}{4,5,6,7}UABxx∣Nð„2|560,{|20}AxxxBxx…ABA．B．C．D．【答案】A【解析】又所以故选：A5、（多选题）已知全集UR，集合A，B满足ABÜ，则下列选项正确的有()A．ABBB．ABBC．()UABðD．()UABð【答案】B、D【解析】ABÜ，ABA，ABB，()UCAB，()UACB，考向一集合的基本概念例1、下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y|y＝x2﹣1}与集合{（x，y）|y＝x2﹣1}是同一个集合；（3）这些数组成的集合有5个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A．【解析】（1）中很小的实数没有确定的标准，不满足集合元素的确定性；（2）中集合{y|y＝x2﹣1}的元素为实数，而集合{（x，y）|y＝x2﹣1}的元素是点；（3）有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}中还包括实数轴上的点．故选：A．[1,2)[3,2)[2,2)(2,6]2|560|16,Axxxxx…{|20}Bxx|12ABxx变式1、已知集合A＝x∈Zx＋1x－2≤0，则集合A的子集的个数为()A．7B．8C．15D．16【答案】B【解析】由x＋1x－2≤0，可得(x＋1)(x－2)≤0，且x≠2，解得－1≤x2.又x∈Z，可得x＝－1,0,1，∴A＝{－1,0,1}．∴集合A的子集的个数为23＝8.变式2、若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A.92B.98C.0D.0或98【答案】D【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.当a＝0时，x＝23，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝98，所以a的取值为0或98.方法总结：1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性考向二集合间的基本关系例2、（2021·苏州·一模）如图，阴影部分表示的集合为A．A(B)B．B(A)C．A(B)D．B(A)【答案】B【解析】从图中可以看出阴影部分在A内，同时也在集合B内，故选B．例3、（2021·连云港·一模）若非空且互不相等的集合M，N，P满足：MN＝M，NP＝P，则MP＝A．B．MC．ND．P【答案】D【解析】M≠N，N≠P，则M∪P＝P，故选D.变式1、已知集合M＝xx＝kπ4＋π4，k∈Z，集合N＝xx＝kπ8－π4，k∈Z，则()A．M∩N＝∅B．M⊆NC．N⊆MD．M∪N＝M【答案】B【解析】由题意可知，M＝xx＝2k＋48－π4，k∈Z＝xx＝2nπ8－π4，n∈Z，N＝xx＝2kπ8－π4或x＝2k－18－π4，k∈Z，所以M⊆N，故选B。变式2、已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1x2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________.【答案】(－∞，4]【解析】当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠∅时，若B⊆A，如图.则m＋1≥－2，2m－1≤7，m＋12m－1，解得2m≤4.综上，m的取值范围为(－∞，4].方法总结(1)若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.考向三集合的运算例4、（2020·浙江高三月考）已知集合，集合，则（）A．B．C．D．04PxxR220QxxxRPQ02xx02xx04xx24xx【答案】B【解析】由题意可得，.故选：B.例5、设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－1]∪{1}【解析】因为A＝{0，－4}，A∩B＝B，所以B⊆A，分以下三种情况：①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＞0，－2（a＋1）＝－4，a2－1＝0，解得a＝1；②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1。综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}。变式1、（2021·常州·一模）已知集合A＝22230xxaxa，B＝230xxx，若AB，则实数a的取值范围为A．{0}B．{﹣1，3}C．(，0)(3，)D．(，﹣1)(3，)【答案】D【解析】由已知得，，，由AB1.若a＞0，则，所以2.若a＜0，则3.当0a时，可得集合0A，此时不满足AB；故a的范围(，﹣1)(3，)变式2、（2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）设集合A＝N26xx，B＝2log(1)2xx，02Qxx02PQxx则AB＝A．35xxB．25xxC．{3，4}D．{3，4，5}【答案】C【解析】由题意345A，，，|26Bxx，所以34AB，，故答案选C.变式3、已知集合A＝{x|x2－x－20}，则∁RA＝()A．{x|－1x2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x－1}∪{x|x2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】方法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)0}＝{x|x－1或x2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B。方法二：因为A＝{x|x2－x－20}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B。方法总结：集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．考向四集合的新定义问题例6、.若x∈A，则1x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()A.1B.3C.7D.31【答案】B【解析】：具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，12，2，－1，12，2.【变式】给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是________．【答案】②【解析】：①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k＋2k∉(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．方法总结：正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口。1、【2020年高考天津】设全集{3,2,1,0,1,2,3}U，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}AB，则UAB∩ðA．{3,3}B．{0,2}C．{1,1}D．{3,2,1,1,3}【答案】C【解析】由题意结合补集的定义可知2,1,1UBð，则U1,1ABð.故选C．2、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则()UABðA．{−2，3}B．{−2，2，3}C．{−2，−1，0，3}D．{−2，−1，0，2，3}【答案】A【解析】