【新高考复习】考向23 平面向量的概念及线性运算（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（

考向23平面向量的概念及线性运算1．（2021·全国高考真题（文））已知向量2,5,,4ab，若//abrr，则_________．【答案】85【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450，解方程可得：85.故答案为：85.2．（2020·天津高考真题）如图，在四边形ABCD中，60,3BAB，6BC，且3,2ADBCADAB，则实数的值为_________，若,MN是线段BC上的动点，且||1MN，则DMDN的最小值为_________．【答案】16132【分析】可得120BAD，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点,0Mx，则点1,0Nx（其中05x），得出DMDN关于x的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DMDN的最小值.【详解】ADBC，//ADBC，180120BADB，cos120ABADBCABBCAB1363922，解得16，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，66,0BCC，,∵3,60ABABC，∴A的坐标为333,22A,∵又∵16ADBC,则533,22D，设,0Mx，则1,0Nx（其中05x），533,22DMx，333,22DNx，222533321134222222DMDNxxxxx，所以，当2x时，DMDN取得最小值132.故答案为：16；132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.1.解决向量的概念问题应关注以下七点：(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(6)非零向量a与||aa的关系：||aa是a方向上的单位向量．(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小2.平面向量线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果..1.平面向量的相关概念名称定义表示方法注意事项向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长向量AB或a；模||AB或||a平面向量是自由向量度(或模)零向量长度等于0的向量，方向是任意的记作0零向量的方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量常用e表示非零向量a的单位向量是||aa平行向量方向相同或相反的非零向量a与b共线可记为ab0与任一向量平行或共线共线向量平行向量又叫共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量ab两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量ab0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb【知识拓展】共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得ba.共线向量定理的主要应用：(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使ABAC，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．1．（2021·浙江高三其他模拟）已知,ab为单位向量，向量c满足|2|||caab，则cb的最大值为（）A．2B．2C．3D．32．（2021·全国高三其他模拟（文））菱形ABCD中1ABBD，点E为BC中点，则ADAE（）A．12B．1C．132D．323．（2021·全国高三其他模拟）（多选题）下列说法正确的是（）A．若,,abc为平面向量，//,//abbc，则//acB．若,,abc为平面向量，,abbc，则//acC．若1,2abrr，abarrr，则a在b方向上的投影为12D．在ABC中，M是AB的中点，AC＝3AN，BN与CM交于点P，AP＝AB+AC，则λ＝2μ4．（2021·贵州省瓮安中学高三其他模拟（文））如图所示的平行四边形ABCD中，6042BADABADE，，，为DC的中点，则ACAE____________.1．（2021·陕西西安中学高三其他模拟（文））如果平面向量2,4ar，6,12b，那么下列结论中不正确的是（）A．3baB．//abC．a，b的夹角为180°D．向量a在b方向上的投影为252．（2021·大庆教师发展学院高三二模（文））已知向量(2,1),(1,),2abxaba，则x的值为（）A．4B．8C．4D．83．（2021·全国高三其他模拟（理））点G为ABC的重心，设,BGaGCb，则ABuuur（）A．2baB．3122ab-C．3122abD．2ab4．（2021·全国高三其他模拟）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为510.6182．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，BF⊥AC，DH⊥AC，AE⊥BD，CG⊥BD，512BEBO，则BF（）A．3555210BABGB．3555210BABGC．5155210BABGD．35525BABG5．（2021·湖南高三其他模拟）已知向量a，b满足32ab，1ab，若2ab与3mab共线，则3mab（）A．2B．4C．22D．226．（2021·安徽高三其他模拟（文））在ABC中，BDDC，OAOBOCOM，AMOD，则（）A．12B．1C．2D．37．（2021·密山市第一中学高一其他模拟）（多选题）在ABC中，有如下四个命题正确的有（）A．若0ACAB，则ABC为锐角三角形B．若BABCAC，则ABC的形状为直角三角形C．ABC内一点G满足0GAGBGC，则G是ABC的重心D．若PAPBPBPCPCPA，则点P必为ABC的外心8．（2021·普宁市华侨中学高三二模）（多选题）如图，已知点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，nFnN为边BC上的一列点，连接nAF交BD于nG，点nGnN满足1223nnnnnGDaGAaGE，其中数列na是首项为1的正项数列，nS是数列na的前n项和，则下列结论正确的是（）A．313aB．数列3na是等比数列C．43nanD．122nnSn9．（2021·上海交大附中高三其他模拟）设向量2,1a，e是与a方向相反的单位向量，则e的坐标为__________.10．（2021·浙江镇海中学高三其他模拟）已知平面向量a，b，c，满足3ab，2c，且4abcab，则abrr的取值范围是___________．11．（2021·上海民办南模中学高三三模）已知正六边形ABCDEF，M､N分别是对角线AC､CE上的点，使得AMCNrACCE，当r___________时，B､M､N三点共线.12．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）平面几何中，角分线分对边成比例定理是这样的：在ABC中，角C的平分线交对边于点D，则CAADCBDB，如图，2ADDB，1DB，CACBCDCACB，R，则ABC面积的最大值为___________.1．（2012·全国高考真题（文））ABC中，AB边的高为CD，若CBa，CAb，0ab，1a，2b，则AD（)A．1133abB．2233abC．3355abD．4455ab2．（2020·海南高考真题）在ABC中，D是AB边上的中点，则CB=（）A．2CDCAB．2CDCAC．2CDCAD．2CDCA3．（2018·全国高考真题（文））在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EBA．3144ABACB．1344ABACC．3144ABACD．1344ABAC4．（2017·全国高考真题（文））设非零向量a，b满足abab，则A．a⊥bB．=abC．a∥bD．ab5．（2017·北京高考真题（文））设m,n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“0mn”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（2014·福建高考真题（文））设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OAOBOCOD等于A．OMB．2OMC．3OMD．4OM7．（2016·全国高考真题（文））已知向量(,4),(3,2)amb，且ab∥，则m___________.8．（2015·全国高考真题（理））设向量a，b不平行，向量ab与2ab平行，则实数_________．9．（2016·上海高考真题（理））如图，在平面直角坐标系中，O为正八边形的中心，.任取不同的两点，点P满足0ijOPOAOA，则点P落在第一象限的概率是_____________.10．（2019·浙江高考真题）已知正方形ABCD的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)ii取遍时，123456ABBCCDDAACBD的最小值是________；最大值是_______.1．【答案】B【分析】由|2|||caab得1|()|||22acab，说明c的终点的轨迹是以2a的终点为圆心，1||2ab为半径的圆，||cb的最大值是圆心与b的终点之间的距离加上半径，即为1|()|||22abab，再将其化成a，b的模和夹角可解得．【详解】解：由|2|||caab得122acab，说明c的终点的轨迹是以2a的终点为圆心，1||2ab为半径的圆，||cb的最大值是圆心与b的终点之间的距离加上半径，即为1|()|||22abab，2111||||()||2222ababbaab11142abab111cos,cos,42abab111142„2，（当且仅当cos,1abrr时取等号）．故选